计算科学 - 是否有必要以完全离散的伽辽金方法将初始条件投影到变分空间上？ - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限元抛物线pde

2021-12-24 01:31:16

我正在解决一个简单的一维热扩散问题

u_{t} = u_{x x}, Ω \times [0, T]

$u_t=u_{xx},\quad \Omega\times[0,T]$

u = 0, \partial Ω \times [0, T]

$u=0\quad, \partial\Omega\times [0,T]$

u (x, 0) = f

$u(x,0)=f$ 使用完全离散的伽辽金有限元方法。这有效地将抛物线问题的解决方案简化为解决椭圆问题的递归序列

{U_{h}}^{t}

$\{U_h\}^t$ , 每个都使用上一个时间步的解决方案

{U_{h}}^{t - 1}

$\{U_h\}^{t-1}$ .

有人告诉我，使用初始条件不是一个好主意 $f$ 作为 $\{U_h\}^0$ . 相反，有人建议我使用投影 $f$ 到为弱公式选择的变分空间上 $\{U_h\}^0$ . 我已经使用了一些数值实验 $f$ 而不是它的投影，我观察到

启发式地，在我看来，投影初始条件会比使用 $f$ 照原样。这些数值实验似乎表明确实没有必要获得一致、稳定的解决方案（至少对于这个问题）。是否存在投影初始条件至关重要的情况，或者更多的是品味/数学形式的问题？

1个回答

这取决于您如何定义“投影”以及您使用的方案。但是让我们研究一下后向欧拉方法。在那里，您需要在每个时间步解决以下离散问题：

(v_{h}, U_{h}^{n}) + Δ t (\nabla v_{h}, \nabla u_{h}^{n}) = (v_{h}, U_{h}^{n - 1}) .

$(v_h,U_h^n) + \Delta t (\nabla v_h, \nabla u_h^n) = (v_h, U_h^{n-1}).$ 问题是在第一步中使用什么：要么

(v_{h}, U_{h}^{1}) + Δ t (\nabla v_{h}, \nabla u_{h}^{1}) = (v_{h}, f)

$(v_h,U_h^1) + \Delta t (\nabla v_h, \nabla u_h^1) = (v_h, f)$ 要么

(v_{h}, U_{h}^{1}) + Δ t (\nabla v_{h}, \nabla u_{h}^{1}) = (v_{h}, Π f)

$(v_h,U_h^1) + \Delta t (\nabla v_h, \nabla u_h^1) = (v_h, \Pi f)$ 在哪里

Π

$\Pi$ 是在有限元空间上的投影。假设您的意思是

L_{2}

$L_2$ 投影，那么

Π f

$\Pi f$ 定义如下：

(v_{h}, Π f) = (v_{h}, f) \forall v_{h} \in V_{h} .

$(v_h, \Pi f) = (v_h, f) \qquad \forall v_h\in V_h.$ 换句话说，对于这次离散化和

L_{2}

$L_2$ norm，第一个时间步的两个备选方案是完全一样的！

这并非总是如此。例如，对于显式 Euler 方案（不适用于热方程，但在此处具有指导意义），备选方案 1 将在第一个时间步产生以下结果：

(v_{h}, U_{h}^{1}) = - Δ t (\nabla v_{h}, \nabla f) + (v_{h}, f) .

$(v_h,U_h^1) = - \Delta t (\nabla v_h, \nabla f)+ (v_h, f).$ 备选方案 2 是

(v_{h}, U_{h}^{1}) = - Δ t (\nabla v_{h}, \nabla Π f) + (v_{h}, Π f) .

$(v_h,U_h^1) = - \Delta t (\nabla v_h, \nabla \Pi f)+ (v_h, \Pi f).$ 这显然不一样。但是，有时您可以定义不同的投影仪，使两者再次匹配。（这里，这是不可能的，因为右边第一项的符号；如果它是正数，你可以把右边的两个定义为投影仪

Π

$\Pi$ .)

其它你可能感兴趣的问题