计算科学 - 求解非线性 ODE 的数值方法？ - 吾爱随笔录

求解非线性 ODE 的数值方法？

计算科学颂数字非线性方程牛顿法

2021-11-27 02:13:32

我想求解非线性方程，数值。我发现求解这个椭圆积分会很麻烦，那么有没有一种数值方法可以用来求解呢？ $\frac{d^2x}{dt^2} + k\sin x = 0$

我试图应用牛顿的方法，但它需要一个粗略的值来确定解决方案所在的位置，而我没有。在我对求解这个方程的数值方法的所有搜索中，我找不到任何函数既包含 x 的导数又包含的函数，形式为任何输入将不胜感激 $f(x)$ $x$ $x$

f (x) = x^{″} + k g (x)

$f(x) = x''+ k\, g(x)$

2个回答

只需将速度作为附加变量引入并求解：

\frac{d}{d t} (x, \dot{x})^{t} = (\dot{x}, k \sin (x))^{t}

$\frac{d}{dt}(x,\dot{x})^t = (\dot{x}, k\sin(x))^t$

然后，您可以使用任何 ODE 积分器解决该问题，例如 Matlab 中的 ode45，使用 Scipy 的 RK45...

注意：我很困惑为什么你会使用牛顿法来解决这个问题......你可以应用它来解决隐式方案的每个时间步，或者一次解决你的解决方案，所有时间步，在离散时间网格。但我不明白你将如何用它来求解原始方程......

评论太长了。

正如其他人所提到的，网络上有大量的代码/文献，因此您可以毫无问题地找到任何合适的参考资料。此外，您的具体示例是物理学中最标准的示例之一。顺便说一句，如果我们使用后向欧拉，在定义并将您的 ODE 编写为您获得的一阶系统之后，在调用时间的解，其中为时间步长： $X(t)=[x(t),\dot{x}(t)]$ $X_n=[x(t_n),\dot{x}(t_n)]$ $t_n = y_0 + hn$ $h$

X_{n + 1} = X_{n} + h [\dot{x} (t_{n}), k \sin (x (t_{n}))]

$X_{n+1}= X_n + h [\dot{x}(t_n), k \sin(x(t_n))]$

这是中的非线性方程，通常用牛顿法求解（在每个时间步处） $X_n$ $n$

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