我试图弄清楚如何将一段代码从 Velocity Verlet 转换为 Runge-Kutta，同时正确处理热噪声的时间步长依赖性。

我的系统的朗之万方程读数为

$$ma = - \gamma v - \frac{dU}{dx} + \xi(t),$$

其中是一些相互作用势，是阻尼，而是具有和的高斯噪声项。$U$$\gamma$$\xi$$\mu = 0$$\sigma = \sqrt{2\gamma m k_B T}$

我可以将 Velocity Verlet 与 Langevin 动力学一起使用

$$v_{t+1} = v_t + h(a - \gamma v + \xi(t)).$$

定性地说，朗之万方程在这里所做的是，它通过向加速度添加随机冲击来模拟热波动，同时用恒定阻尼项来抵消它们以稳定能量。那么我的问题是，这如何转化为四阶龙格-库塔（RK4）？

在 RK4 中，我们计算速度为

$$v_{t+1} = v_t + \frac{h}{6}(a_1 + 2a_2 + 2a_3 + a_4)$$

其中是在 RK4 步骤中计算的部分加速度。$a_i$

我不清楚在哪里介绍朗之万动力学。我最好的猜测是它应该应用于每个单独的 RK 步骤？例如对于$a_1$

$$a_1 = a_t - \gamma v_t + \xi(t).$$

当然，我们必须在一个时间步中对所有才有意义。这意味着我们在每个时间步开始时生成一个，然后我们将其用于该时间步的每个计算。$\xi(t)$$a_i$$\xi(t)$

尽管如此，这里还是缺少了一些东西......因为现在噪音不依赖于时间步长，而且应该是！这在 Velocity Verlet 中不是问题，因为我们只是在每个时间步将噪声项与相乘，但这里不是这种情况。在我看来，时间步长必须包含在 Langevin 方程的项中的某处，但我真的不知道如何......$h$$\sigma$

编辑1：更改为更明智的符号。

编辑2：我意识到，要使 RK4 工作，您可能必须在噪声项中添加一个时间步长，如以使单位正确输出。$\sigma = \sqrt{\frac{2\gamma m k_B T}{h}}$