计算科学 - 有界和无界域上的热方程 - 吾爱随笔录

计算科学边界条件抛物线pde

2021-12-07 04:08:19

我一直在阅读热方程，但我对域有界和无界情况下的唯一性感到困惑。在我正在阅读的书中，通常将热方程写在 [0,1] 上，边界上的值为零，并表明一个级数可以求解该方程。我可以遵循这一点，并声称该解决方案是独一无二的。

然后，同一本书可以给出一个关于无界域的例子，并将解写成热核的积分，它又是一个解，它是唯一的。

那么，边界条件会影响唯一性吗？看起来不像我可以在这两种情况下写一个独特的解决方案。那有什么效果呢？

1个回答

这个问题与数学有关，而不是与科学计算有关。但我会提到一些我想到的事情。不过，我并不想在这里变得严格。

您在这里提到的不止一件事：

关于1，您需要考虑更改域时您在解决方案中允许的功能是不同的。对于一个你会有类似的东西

u = A e^{- k x} + B e^{k x}, x \in [0, 1],

$u = A e^{-kx} + B e^{kx},\quad x \in [0,1],$

第二次你将强制执行 $B = 0$ ，为了满足 $\lim_{x\rightarrow \infty} u < \infty$ ，因此

u = A e^{- k x} x \in [0, \infty),

$u = A e^{-kx} \quad x \in [0,\infty),$

假如说 $k$ 是积极的。

对于2，我可以提到边界条件改变了你的常数的值 $A$ 和 $B$ 会采取，假设解决方案是唯一的。

关于3，对于某些边界条件，解不是唯一的。您的问题可以有无限的解决方案，例如， $\frac{d^2 u}{dx^2} = 0$ , 两边都有 Neumann 条件。如果不能满足您的边界条件，您的问题可能有零解。而且，我想，对于非线性边界条件，您可以有多种解决方案。

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