计算科学 - 用于 SDE 中弱收敛的 Richardson 外推法问题 - 吾爱随笔录

用于 SDE 中弱收敛的 Richardson 外推法问题

计算科学颂收敛随机扩散

2021-12-03 04:16:36

我已经将 Euler-Maruyama 方法的 Richardson 外推到 4 阶，以估计 SDE 的矩。

Euler-Maruyama 有效，我希望 Richardson 外推也有效，因为当我抑制噪声贡献时，它会在得到的常微分方程中给出正确的解。

但是，当我添加噪声项时，我没有得到我期望的矩（特别是方差），就像我使用常规欧拉方法所做的那样，所以显然我做错了什么。

这是我用于外推的 MATLAB 代码：

function [t, y] = Richardson_weak_4th_order(a, b, t_interval, y0, h)

[t1, y1] = euler_maruyama(a, b, t_interval, y0, h);
[~, y2]  = euler_maruyama(a, b, t_interval, y0, h/2);
[~, y3]  = euler_maruyama(a, b, t_interval, y0, h/4);
[~, y4]  = euler_maruyama(a, b, t_interval, y0, h/8);

% Extrapolation
y2 = y2(1:2:end,:);
y3 = y3(1:4:end,:);
y4 = y4(1:8:end,:);

t = t1;
y = 1/21*(64*y4 - 56*y3 + 14*y2 - y1);

为简单起见，我正在使用 Ornstein-Uhlenbeck 过程进行测试

d X_{t} = (m - X_{t}) d t + σ d W_{t}

$\mathbb{d} X_t = (m - X_t)\mathbb{d}t + \sigma \mathbb{d}W_t$ 为此

E (X) ≃ m

$\mathbb{E}(X) \simeq m$ 和

Var (X) ≃ \frac{σ^{2}}{2}

$\operatorname{Var}(X) \simeq \frac{\sigma^2}{2}$ . Euler 方法的结果还可以，但外推法的方差要大得多。我错过了什么？

编辑：问题是理查森外推没有在估计的时刻（应该）上实现，而是在过程的实现上实现。

1个回答

您正在将 Richardson 外推法应用于 OU 流程的越来越准确的独立样本路径。

即使对于独立的相同正态分布的随机变量，这将如何工作 $y_1,y_2,y_3,y_4\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ ? 这些已经“收敛”到真实分布 $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ ，并且您可能期望外推法只是重现变量，但是

\frac{1}{21} (64 y_{4} - 56 y_{3} + 14 y_{2} - y_{1}) \sim N (μ, 16.8 σ^{2}) .

$\tfrac1{21}(64y_4-56y_3+14y_2-y_1) \sim \mathrm{N}(\mu, 16.8\sigma^2).$ 如果它们是独立的，那将破坏这种线性组合做正确事情的任何机会。

根据在 Google Scholar 上的粗略搜索，Richardson 推断确实会有所帮助。但我认为有必要谨慎选择样本的方式以及它们的独立性。上述论点与 $y_i$ 也适用于 $y_i$ 是对生成过程路径的样本矩的估计：样本矩的方差会被 Richardson 外推的过程放大，所以这是你需要小心处理的事情。

因此，Richardson 外推只能稍微小心地应用于采样时刻，而不是采样路径。特别是对于示例时刻，它确实会有所帮助：独立 $y_k$ 将分发为 $\mathrm{N}(\mu,2^{-2(k-1)}\sigma^2)$ ，然后

\frac{1}{21} (64 y_{4} - 56 y_{3} + 14 y_{2} - y_{1}) \sim N (μ, 0.7 σ^{2}) .

$\tfrac1{21}(64y_4-56y_3+14y_2-y_1) \sim \mathrm{N}(\mu, 0.7\sigma^2).$ 如果你要做同样的事情

y_{k}

$y_k$ 来自同一个样本，那么根据我的计算，方差将（对于样本均值）为

0.15 σ^{2}

$0.15\sigma^2$ .

其它你可能感兴趣的问题

上一篇使用 Metropolis-Hasting 算法收集统计数据下一篇关于理解几何守恒定律的几个问题