我不认为你可以在那里形成一个内积。然而，还有其他方法不使用相同的空间进行测试和试验功能，例如，Petrov-Galerkin方法。这里的问题是矩阵不再是对称的。

您也可以使用最小二乘 FEM。为此，您有

$$\mathcal{L}u=f\quad \text{in }\Omega\quad \text{and}\quad \mathcal{R}u=g\quad \text{on } \partial\Omega$$ 在哪里，$\mathcal{L}u=g$和$\mathcal{R}u=g$是边界条件。然后，您形成泛函 $$J(u;f,g) =\Vert \mathcal{L}u-f\Vert^2 + \Vert \mathcal{R}u-g\Vert^2$$ 并解决最小化问题 最终得到一个形式为 这里需要注意的是，规范和内部产品不在同一个空间中。我已经看到了量子电动力学的这种方法，其中方程是一阶的，例如这里。 $$\min_{u\in S} J(u;f,g)$$ $$(\mathcal{L}v,\mathcal{L}u) + (\mathcal{R}v,\mathcal{R}u) = (\mathcal{L}v,f) + (\mathcal{R}v,\mathcal{L}f) \forall\ v \in S \enspace .$$