计算科学 - 扩散-传输问题 FEM - 吾爱随笔录

我正在看一本关于扩散传输问题的 FEM 书。

- d i v (μ \nabla u) + b \cdot \nabla u + γ u = f i n Ω

$-div(\mu \nabla u) + b \cdot \nabla u + \gamma u = f \qquad in~\Omega$

u = 0 i n \partial Ω (in the boundaries)

$u = 0 \qquad in~\partial\Omega\text{ (in the boundaries)}$

它说如果 $\displaystyle \frac{|b|}{\mu} \gg 1$ 那么问题就是以运输为主的问题。

取上一章的一些东西，更准确地说是稳定性和收敛性的 Galerking 分析，以及误差的近似，我们有

M ≅ μ + | b | continuity constant

$\displaystyle M \cong \mu + |b| \qquad \textrm{continuity constant}$

α = μ coercivity constant

$\alpha = \mu \qquad \textrm{coercivity constant}$

然后它有

\frac{M}{α} ≅ 1 + \frac{| b |}{μ} ≫ 1

$\displaystyle \frac{M}{\alpha} \cong1+\frac{|b|}{\mu} \gg 1$

因此，得出的结论是，误差的估计是

| | u - u_{h} | | \leq C \frac{M}{α} h^{r} | u |_{H^{r + 1} (Ω)}

$\displaystyle ||u -u_h|| ≤C\frac{M}{\alpha}h^r|u|_{H^{r+1}(\Omega)}$

这告诉我们，如果空间步长，Galerkin 方法可能会给出不令人满意的结果 $h$ 不够小。

我不明白它怎么能得出这样的结论。任何想法？请不要给出复杂的解释，我只是想理解这些 FEM 的东西，我是一名计算机科学专业的学生，而不是一名数学专业的学生。