计算科学 - 反应扩散方程的有限差分格式的稳定性 - 吾爱随笔录

反应扩散方程的有限差分格式的稳定性

计算科学有限差分稳定

2021-12-15 06:29:41

我目前需要数值求解以下反应扩散方程：

\partial_{t} u = \partial_{x}^{2} u + u - u^{2}

$\partial_tu=\partial^2_xu+u-u^2$

为此，我使用以下数值方案 (Crank-Nicolson??)：

\frac{u (x, t + δ t) - u (x, t)}{δ t} = \frac{1}{2 (δ x)^{2}} [u (x + δ x, t + δ t) - 2 u (x, t + δ t) + u (x - δ x, t + δ t) + u (x + δ x, t) - 2 u (x, t) + u (x - δ x, t)] + u (x, t) - u^{2} (x, t)

$\frac{u(x,t+\delta t)-u(x,t)}{\delta t} = \frac{1}{2(\delta x)^2} \left[u(x+\delta x,t+\delta t)-2u(x,t+\delta t)+u(x-\delta x,t+\delta t)+u(x+\delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\delta x,t)\right] + u(x,t)-u^2(x,t)$

如何调查该方案的稳定性？

1个回答

您的离散化是正确的，但它不是最简单的。我建议尝试最简单的一种，如果您发现它不稳定或无法提供所需的精度，请切换到更高级的。我更喜欢这种方案，因为它不需要在实现中引入线性系统求解器，并且可能更有效：

\partial_{x}^{2} u (x, t) = \frac{u_{x + δ x}^{t} + u_{x - δ x}^{t} - 2 u_{x}^{t}}{δ x^{2}}

$\partial^{2}_{x} u(x,t) = \frac{u^{t}_{x+\delta x}+u^{t}_{x-\delta x} - 2 u^{t}_{x}}{\delta x^{2}}$

所以，最后你的更新方程是：

u_{x}^{t + δ t} = u_{x}^{t} + δ t (\frac{u_{x + δ x}^{t} + u_{x - δ x}^{t} - 2 u_{x}^{t}}{δ x^{2}} + u_{x}^{t} - (u_{x}^{t})^{2})

$u^{t+\delta t}_{x} = u^{t}_{x} + \delta t (\frac{u^{t}_{x+\delta x}+u^{t}_{x-\delta x} - 2 u^{t}_{x}}{\delta x^{2}} + u^{t}_{x} - (u^{t}_{x})^{2})$

为了稳定性，您应该使用几个和但对于更详细的分析，我在这里推荐您：反应扩散系统的线性稳定性分析 $\delta t$ $\delta x$

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