计算科学 - 具有对角线非线性的非线性系统 - 吾爱随笔录

考虑一个非线性系统的形式 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}_{\mathbb{R}^n}$ 为了 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ , 其中函数 $\boldsymbol{f}$ 是（谁）给的

f (x) := g (x) + \underline{A} x + b \in R^{n}, x \in R^{n} .

$\begin{equation} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) := \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{\underline{A}} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^n, \quad \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n. \end{equation}$ 这里，函数

g

$\boldsymbol{g}$ 是可微的。此外，函数

g_{i}

$g_i$ 只依赖于

x_{i}

$x_i$ ， IE

\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{j}} \equiv 0

$\frac{\partial g_i}{\partial x_j} \equiv 0$ ,

i \neq j

$i \neq j$ . 矩阵

\underline{A} \in R^{n \times n}

$\boldsymbol{\underline{A}} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是大的、稀疏的、非对称的和可逆的。

我们可以利用纯对角线非线性吗？ $\boldsymbol{f}$ 以某种方式解决非线性系统？

雅可比矩阵的组装 $\boldsymbol{\underline{J}_f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\underline{J}_g}(\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{\underline{A}}$ 便宜，因为 $\boldsymbol{\underline{J}_g}(\boldsymbol{x})$ 是对角矩阵。因此，牛顿法似乎是一种自然的选择，但其他方法也是可以接受的。

如果我们使用牛顿的方法，那么我想我的问题归结为我们是否可以利用特殊形式 $\boldsymbol{\underline{J}_f}$ 计算更新时 $\boldsymbol{\Delta x}$ 在每一个牛顿步中， $\boldsymbol{\underline{J}_f}(\boldsymbol{x}_k) \boldsymbol{\Delta x} = - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_k)$ ?