计算科学 - 对矩阵倒数应用 Newton-Raphson 迭代是否会细化 LU/GE 的矩阵逆？ - 吾爱随笔录

假设您有一个可能非常病态的矩阵 $A$ , 你用 LU/GE 计算它的逆得到 $X_{\text{lu}}\approx A^{-1}$ .

牛顿-拉夫森迭代

f : X \mapsto 2 X - X A X

$f: X \mapsto 2X-XAX$ 一般收敛到矩阵的逆

A

$A$ .

计算是否将 Newton-Raphson 迭代应用于 $X_{\text{lu}}$ ，即计算 $f(X_{\text{lu}})$ , $f(f(X_{\text{lu}}))$ 使生成的矩阵逆更准确，还是更不准确？

我无法直接找到参考，所以我问是否有人确定。

绝对误差将与 $\|(f')^{-1}\|$ （例如，数值算法的准确性和稳定性，第 25 章），但处消失。所以大概这意味着应用只有在错误来自 LU 分解步骤中的增长因子时才有帮助？但这是否意味着在其他时候应用会造成伤害，因为它依赖于计算具有消失的雅可比行列式的函数的根，这会使其不如 LU 准确？例如，在重度根为 2 的一维情况下，牛顿法将有误差，但 LU/GE 总是有误差。 $f'$ $X=A^{-1}$ $f$ $f$ $O(\sqrt{\epsilon})$ $O(\rho \epsilon)$

我在中的所有矩阵上进行了尝试，似乎它几乎总是损害准确性，从来没有超过的帮助，而且经常失败。（目前还不清楚要测试哪些矩阵。） $16\times 16$ MatrixDepot.jl $\frac13$

module MatrixInverseNewtonRaphson

using MatrixDepot

F(A, X) = 2X - X*A*X
R(A, X) = norm(A*X - eye(A), 1)

function go(name, m)
    A = full(matrixdepot(name, m))
    B = inv(A)
    B1 = F(A, B)
    X = 0.5A' / norm(A*A', 2)
    for i in 1:2m; X = F(A, X); end
    (R(A, B1) / max(eps(eltype(A)), R(A, B)), R(A, B), R(A, X), name)
end

function main(m=16)
    e = []
    for name in matrixdepot("all")
        try
            push!(e, go(name, m))
        catch err
            println(err)
        end
    end
    sort(e)
end

end