我编写了一个稀疏求积例程来积分多维高斯积分。我试图在我的论文中展示收敛图并证明代码可以正常工作。我正在使用具有封闭形式的多维积分对此进行基准测试。对于正常的数值方案，人们会假设相对误差随着正交点数量的增加而不断减小。然而，smolyak 算法只选择那些符合以下标准的张量积：

$$\ell-M+1\leq||i||_1\leq\ell$$

其中是积分中的维数，是阶数，个一维集合中的每一个的正交点数的总和。这导致了稀疏的张量积。正如我们所见，当使用大时，会忽略低阶张量积，尤其是在时。因此，人们仍然会期望误差随着更高阶而不断减小吗？在我的代码中，我看到对于更高的，误差高原，随着的增加，这个高原移动使得准确性降低。例如当$M$$\ell$$\|i\|_1$$M$$\ell$$\ell>>M$$\ell$$\ell$$M$$M$为 1，误差在 1E-16 处达到稳定水平，即预期的双精度限制。但是当时，高原在 1E-12 左右，这看起来相当大，我已经测试了几个不同的多维积分。它是否正确？对于我们有$M=5$$\ell=35$

$$31\leq||i||_1\leq35$$

所以我们正在失去很多张量积。我是不是很迂腐？由于输入数据，我只需要前四个有效数字。