计算科学 - 不规则域上的二维 Neumann 条件 - 吾爱随笔录

我想在以下蛋形域内使用 Neumann BC 对 2D 扩散方程进行建模：

我想使用上图所暗示的离散化的有限差分法，但是虽然我可以处理内部点，但我不知道如何处理边界值。我知道如何搜索和识别边界点，但我不确定我应该使用什么有限差分逼近无通量条件。目前我正在考虑通过查看它的 8 个最近邻居来估计每个边界点的法线方向，然后，如果法线大约是

n = [n_{1}, n_{2}]

$\textbf{n} = [n_1, n_2]$

我会添加一个等式：

\nabla c \cdot n \approx \frac{c_{i, j} - c_{i - 1, j}}{Δ x} \times n_{1} + \frac{c_{i, j} - c_{i, j - 1}}{Δ y} \times n_{2} = 0

$\mathbf{\nabla} c \cdot \textbf{n} \approx \frac{c_{i,j}-c_{i-1,j}}{\Delta x} \times n_1 + \frac{c_{i,j}-c_{i,j-1}}{\Delta y} \times n_2 = 0$

当然，我需要小心我从哪一方获取导数。

有没有人对这类问题有任何建议或资源？3D 中的示例将特别有用，因为这就是我正在努力的方向。