计算科学 - 必要和充分的测试来显示数值方法的收敛顺序 - 吾爱随笔录

我想知道为了显示算法的收敛性，必须执行哪些必要和充分的测试。因为我对数量感兴趣，所以我没有找到一个很好的参考状态 $\|u_h-u\|$ 在一些离散范数为。的网格上的数值解，表示真解。假设没有确切的解决方案可以比较。我不想“制造” pde 的解决方案，因为它假设 pde 有一个强大的解决方案，而我不一定有。底线，解决方案在整个域+边界上并不强。但是我有一个数值算法可以解决这个方程，我可以观察结果。我有什么技术可以使用所使用的算法来判断该方程的准确性？ $h\to 0$ $u_h$ $h$ $u$

我建议的方法之一是假设：。然后同样因此，由于所有这些解决方案都存在于不同的有限维空间中，因此我将更精细的解决方案投影到更粗略的网格上，即在网格空间上测量，间距为和的网格间距上测量。对于二阶方法，这两个数量的比率将为我提供但是，我开始假设该方法是二阶的，因此看到

‖ u_{h} - u ‖ \leq C h^{2}

$\| u_h - u \| \leq Ch^2$

‖ u_{2 h} - u_{h} ‖ \leq ‖ u_{2 h} - u ‖ + ‖ u - u_{h} ‖ = 5 C h^{2} .

$\| u_{2h} - u_h \| \leq \| u_{2h} - u\| + \| u - u_h \| = 5Ch^2.$

‖ u_{4 h} - u_{2 h} ‖ \leq 20 C h^{2}

$\| u_{4h} - u_{2h} \| \leq 20Ch^2$

‖ u_{2 h} - u_{h} ‖

$\| u_{2h} - u_h \|$

2 h

$2h$

‖ u_{4 h} - u_{2 h} ‖

$\| u_{4h} - u_{2h} \|$

4 h

$4h$

4

$4$

4

$4$ 因为比率只是必要的，但不足以声称该算法实际上是二阶的。因此，在这种情况下，我有什么选择来证明算法的速率实际上是二阶的？

编辑：我正在求解的方程是初始数据：和其他任何地方的值都是。所以初始数据是“粗糙的”，缺乏均匀的连续性，第二维没有扩散，pde中的系数是不连续的，结果，我在维上根本没有得到任何规律性。而且我不知道如何制造出在时呈现这种形状的解决方案。对于制造解决方案的想法，我必须想出一个具有

u_{t} = u_{x x} + 1_{{x \geq K}} u_{y}, x \in [0, 2 K], y \in [0, 2], t \in [0, T]

$u_t=u_{xx}+1_{\{x\geq K\}}u_y,\; x\in [0,2K], y\in [0,2], t\in [0,T]$

u (0, x, y) = x - K / 2, x \in [K / 2, 2 K], y \in [0, 1]

$u(0,x,y)=x-K/2, x\in[K/2,2K], y \in [0,1]$

0

$0$

y

$y$

t = 0

$t=0$

u_{t}, u_{x x}, u_{y}

$u_t,u_{xx},u_y$ 并且与初始数据“非常接近”，但由于它会先验平滑以求导数，因此它仍然不是真实函数的良好近似。