我通常建议先尝试 Morley，因为它很容易实现，并且在许多情况下，您只需像使用一致的有限元一样做所有事情。不合格将是错误分析中的一个因素，但在其他方面非常相似。

如果您想在这里尝试一下，这是一个可以运行的片段，例如，在运行后在 Google Colab 中!pip install scikit-fem==5.2.0。它正在解决与在边界上：$\Delta^2 u = \lambda u$$u = \frac{\partial u}{\partial n}=0$

from skfem import *
from skfem.helpers import ddot, dd
from skfem.models import mass
from skfem.visuals.matplotlib import plot

@BilinearForm
def biharmonic(u, v, w):
  return ddot(dd(u), dd(v))

m = MeshTri.init_lshaped().refined(4)
basis = Basis(m, ElementTriMorley())

# matrices
A = biharmonic.assemble(basis)
M = mass.assemble(basis)

# solve eigenvalue problem
D = basis.get_dofs()
x = solve(*condense(A, M, D=D))
nth = 4
x0 = x[1][:, nth]

ax = plot(basis, x0, nrefs=2, shading='gouraud', figsize=(4, 4))

上面的片段绘制了特征函数，但我使用一些额外的代码为您制作了第四种模式的动画，并且matplotlib.animation：

您真的不想使用符合要求的元素。改用惩罚方法。

此处详细描述了推理，以及基于开源库的实现（免责声明！我是主要作者之一）：https ://dealii.org/developer/doxygen/deal.II/ step_47.html

可以在此处找到替代方法的实现，使用相同的库实现：https ://dealii.org/developer/doxygen/deal.II/step_82.html

Firedrake ( www.firedrakeproject.org ) 支持三角形（不合格的 Morley 加上合格的 Bell 和 Argyris），具有用于定义双线性形式的高级语法。我们在这里发现，与内部惩罚类型方法相比，使用这些元素可以提供更小、更稀疏、更好的条件线性系统。Morley 不合格的主要缺点是它只是一阶准确的，这也是内部惩罚方法的情况。妙语是，如果您可以访问元素，则没有更喜欢内部惩罚的主要原因，但如果您无法访问方法，IP 方法将完成这项工作。$C^1$$P^2$$C^1$$C^1$

如果您需要问题，情况会有所不同，因为我们没有实现好的元素（它们比 2D 复杂得多）。我想IP方法会很好用。$C^1$$C^1$

这是对已回答内容的简要总结。

粗略地说，有3个选项

1. 符合元素，如 Argyris 三角形、Hsien-Clough-Ticher 三角形等。人们似乎对它们持怀疑态度，也许是因为每个元素的 DOF 数量很高（AT 为 21，HCT 为 12 - 请参阅https://defelement.com/

2. 以莫利三角形为典型示例的不合格元素。MT 只有 6 个自由度。这种元素很难实现，尤其是在 3D 中。另一个缺点是 MT 只有一阶收敛（由于不一致）。但是，一旦这些元素可用，它们就会非常有效 - 请参阅@RobertKirby 的回复（包括一篇好论文！）。@knl 和 @lightxbulb 在 MT 上提供了有趣的示例。据我所知，MT 在www.firedrakeproject.org、FreeFEM、scikit-fem、FEniCS 中实现。

3. 内罚和 DG 公式。它们实施起来相对简单 - 请参阅@WolfgangBangerth 的回复，其中包含带有 deal.II 包的 FANTASTIC 示例。只要您知道如何有效地求解由此产生的线性方程组鞍点系统，该策略几乎可以在任何 FE 包中实现。