@JannisTeunissen 给出了无限域的答案。然而，对于有限域，亥姆霍兹分解不是唯一的，标量势可以有多种形式。$\phi$

首先，curl 部分当然是无散度的。但是如果是无散的，那么你只知道必须满足，但你对它的边界值一无所知。换句话说，的任何边界值选择，连同都会产生无散；特别是，不一定为零。因此，在有限域上，无散向量场的集合不仅仅是向量势的卷曲集合，而是更大的集合。$\nabla\times\vec A$$\vec F$$\phi$$-\Delta \phi=0$$\phi$$-\Delta \phi=0$$\vec F$$\phi$

在数学上，在无限域上，你有 另一方面，在有界域上，你有

$$\{ \vec F \in H_\text{div}: \nabla\cdot\vec F=0 \} = \{ \nabla\times\vec A: \vec A \in H_\text{curl} \}.$$ $$\{ \vec F \in H_\text{div}: \nabla\cdot\vec F=0 \} = \{ \nabla\times\vec A: \vec A \in H_\text{curl} \} \cup \{ \nabla\phi: \phi \in H^1, -\Delta\phi=0 \}.$$

对于满足几个条件（平滑，衰减足够快）的向量场 ，亥姆霍兹定理指出，您可以将写为$\vec{F}$$\vec{F}$

$$\vec{F} = \nabla \times \vec{A} - \nabla \phi.$$

'卷曲场'等于的无散部分，因为我们有： 反之，如果，我们有（当在无穷大时），所以 $\nabla \times \vec{A}$$\vec{F}$

$$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0,$$ $\nabla \cdot \vec{F} = -\nabla^2 \phi = 0$$\nabla \phi = 0$$\phi \to 0$ $$\vec{F} = \nabla \times \vec{A}$$

对于物理直觉，您可以考虑以下内容：

1）对于流体流动的速度散度计算离开和进入控制体积的总通量。因此，在没有质量源的情况下，速度必须是无散度的，即离开固定控制体积的质量应该等于进入它的质量。

2) Curl 计算场旋转的“幅度”。因此，速度的非零旋度意味着对应于涡旋的旋转运动。然后，卷曲自由场可以用一个势函数来描述