Arnold-Winther 元素（参考文献 1）是混合弹性的第一个稳定元素，不需要放松应力张量的对称性。对于二维中的最低阶单元，位移空间由没有单元间连续性要求的分段线性向量场组成，其维度为 6。应力空间由所有分段三次对称张量组成，因此法向分量为跨边连续，并且所有组件在顶点处是连续的，其维度为 24。$V_h$$\Sigma_h$

Arnold-Winther 元素对 3D的扩展于 2008 年发布（参考文献 2）。最低阶元素是一个四面体，它具有在元素之间不连续的分段线性位移；该空间 ( ) 的维数为 12。应力空间包含每个元素上的二次多项式的完整空间，并由维数为 162 的 3 和 4 次无散多项式增强。$V_h$$\Sigma_h$

参考

1. Arnold, DN 和 Winther, R. (2002)。弹性的混合有限元。数值数学，92（3），401-419。

2. Arnold, D.、Awanou, G. 和 Winther, R. (2008)。三维对称张量的有限元。计算数学，77（263），1229-1251。

Brezzi、Fortin 和 Marini表明，MINI 元素的一个版本对于 2D 弹性是稳定的。应力和速度空间是 ,其中是在三角形边界上具有次多项式空间，是气泡函数的空间，在这种情况下是每个三角形上的三次函数。（下标$\Sigma_h = (\mathscr{L}_1^1 + \mathscr{B}_3)_s^{2\times 2}$$V_h = (\mathscr{L}_1^1)^2$$\mathscr{L}_p^k$$p$$k$$\mathscr{B}$${}_s$在应力空间上表示对称张量。）换句话说，应力分量是对称的，连续的分段线性，富含立方气泡，而位移分量是连续的分段线性。

不像$H(\text{div})$元素，例如 Arnold-Winther 元素，MINI 元素跨越三角形边界是连续的，这对于某些应用程序可能是必需的。

参考

Brezzi, F.、Fortin, M. 和 Marini, LD (1993)。具有连续应力的混合有限元方法。应用科学中的数学模型和方法，3（02），275-287。

在 PEERS（具有减少对称性的平面弹性单元）单元中，应力张量的每一行都近似于由立方气泡单元的卷曲富集的最低阶 Raviart-Thomas 单元。该单元每个顶点有 4 个应力，每个边有 2 个位移，每个顶点有 1 个拉格朗日乘子（位移的旋转）。这为每个元素提供了总共 21 个自由度。

参考

1. Arnold, DN, Brezzi, F. 和 Douglas, J. (1984)。PEERS：一种新的平面弹性混合有限元。日本应用数学杂志，1(2)，347-367。