二元乘积将两个向量作为输入并输出二阶张量。这就是我所知道的二元乘积，二元是术语$\mathbf{a}\mathbf{b}$. 一般的二阶张量可以写成对的线性组合。

通常是符号$\otimes$被称为张量积，它输出高阶张量。我认为这在索引符号中更容易理解

$$A = B \otimes C\, ,$$

和$B$和$C$二阶张量，是四阶张量。在索引符号中，这是

$$A_{ijkl} = B_{ij} C_{kl}\, .$$

如果你想计算这个，你需要一个 4 维数组。以下代码片段执行此操作

for i in range(3):
    for j in range(3):
        for k in range(3):
            for l in range(3):
                A[i, j, k, l] = B[i, j] * C[k, l]

这取决于您使用的编程语言。可能已经内置了张量产品的功能。

关于，如何可视化四阶张量。这更困难，因为它可以被认为是一个 4 维数组（对于某些坐标系），为此您需要 4 个维度。通常做的一件事是将其表示为 9 x 9 矩阵或矩阵矩阵。

例如，以下是$\mathbf{I}\otimes\mathbf{I}$.

⎡⎡1  0  0⎤  ⎡0  0  0⎤  ⎡0  0  0⎤⎤
⎢⎢       ⎥  ⎢       ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎢⎢0  1  0⎥  ⎢0  0  0⎥  ⎢0  0  0⎥⎥
⎢⎢       ⎥  ⎢       ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎢⎣0  0  1⎦  ⎣0  0  0⎦  ⎣0  0  0⎦⎥
⎢                               ⎥
⎢⎡0  0  0⎤  ⎡1  0  0⎤  ⎡0  0  0⎤⎥
⎢⎢       ⎥  ⎢       ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎢⎢0  0  0⎥  ⎢0  1  0⎥  ⎢0  0  0⎥⎥
⎢⎢       ⎥  ⎢       ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎢⎣0  0  0⎦  ⎣0  0  1⎦  ⎣0  0  0⎦⎥
⎢                               ⎥
⎢⎡0  0  0⎤  ⎡0  0  0⎤  ⎡1  0  0⎤⎥
⎢⎢       ⎥  ⎢       ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎢⎢0  0  0⎥  ⎢0  0  0⎥  ⎢0  1  0⎥⎥
⎢⎢       ⎥  ⎢       ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎣⎣0  0  0⎦  ⎣0  0  0⎦  ⎣0  0  1⎦⎦

正如其他用户所指出的，您编写的第一个等式不正确。但是，我想你想知道的是为什么$(I:A)I = (I \otimes I)A$. 您可以通过使用 dyads 属性来显示这一点。

$$(B \otimes B) : A =(B_{ij}B_{kl} e_i \otimes e_j \otimes e_k \otimes e_l):(A_{mn} e_m \otimes e_n) = B_{ij}B_{kl} A_{mn} \delta_{km} \delta_{ln} e_i \otimes e_j = B_{ml} A_{ml} B_{ij}e_i \otimes e_j = (B:A) B$$