计算科学 - 求解四阶微分方程 - 吾爱随笔录

我想解决

\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} u (z, t) + a \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} u (z, t) + k \frac{\partial^{4}}{\partial z^{4}} u (z, t) = 0

$\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(z,t) + a\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(z,t) + k\frac{\partial^4}{\partial z^4}u(z,t) = 0$

和 $u(z,0) = 1+0.1e^{-\frac{z^2}{2}}$ . 我想研究波浪的动态。

最简单的方法是什么？

我尝试使用有限差分法，但我的解决方案很快就发散了！

我使用这个迭代

f_{j}^{n + 1} = 2 f_{j}^{n} - f_{j}^{n - 1} + \frac{Δ t^{2}}{Δ z^{2}} a (f_{j + 1}^{n} - 2 f_{j}^{n} + f_{j - 1}^{n}) + k \frac{Δ t^{2}}{Δ z^{4}} (f_{j - 2}^{n} - 4 f_{j - 1}^{n} + 6 f_{j}^{n} - 4 f_{j + 1}^{n} + f_{j + 2}^{n})

$f_j^{n+1} = 2f_j^n - f_j^{n-1} + \frac{\Delta t^2}{\Delta z^2}a(f_{j+1}^n - 2f_j^{n} + f_{j-1}^n) +k \frac{\Delta t^2}{\Delta z^4}(f^n_{j-2}-4f^n_{j-1}+6f^n_{j}-4f^n_{j+1} + f^n_{j+2})$ 在哪里

n

$n$ 这是时间步和

j

$j$ 空间步。

评论后改进我的问题：

我使用了一个非常小的时间步，这就是我得到的：

这种迭代方法如何避免反射？