计算科学 - 如何求解这个一维非线性、可变系数双曲 PDE？ - 吾爱随笔录

计算科学 pde 双曲-pde

2021-12-06 19:59:58

我需要在 x 和 phi 坐标中求解以下双曲方程

\frac{\partial (- s / f)}{\partial φ} + \frac{\partial (1 / f)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial \left ( -s/f \right )}{\partial \varphi }+\frac{\partial \left ( 1/f \right )}{\partial x}=0$

φ > 0 \to f = {(1 + \frac{(1 - s) (1 + 0.4 φ e^{- x})}{10 s})}^{- 1}

$\varphi >0\rightarrow f=\left ( 1+\frac{\left ( 1-s \right )\left ( 1+0.4\varphi e^{-x} \right )}{10s} \right )^{-1}$

φ < 0 \to f = {(1 + \frac{1 - s}{10 s})}^{- 1}

$\varphi <0\rightarrow f=\left ( 1+\frac{1-s}{10s} \right )^{-1}$

φ = - 0.1 x \to s = 0.1, f = 0.526

$\varphi =-0.1x\rightarrow s=0.1,f=0.526$

x = 0, φ > 0 \to s = 1, f = 1

$x=0,\varphi >0\rightarrow s=1,f=1$

在域中

0 < x < 1

$0<x<1$

- 0.1 x < φ < 1

$-0.1x<\varphi <1$

我正在寻找可以像爪包一样求解这个方程的双曲线包，但我不知道如何在那里定义我的方程谢谢

2个回答

这只是对 David Ketcheson 关于数值求解的评论的一个小补充。

如果您想使用 MATLAB 获得数值解，Lawrence Shampine 为双曲 PDE 编写了一个 MATLAB 求解器，该求解器被设计为（相对）易于使用。如果你看这个页面的一半：

您将看到标题为“双曲 PDE”的部分，其中包含指向他的论文和用于此功能的 MATLAB 代码的链接。因为它完全是用 MATLAB 代码编写的，所以“安装”是微不足道的。

由于您在一个空间维度上存在标量问题，因此使用特征方法提出半解析解决方案应该不难。这里有一些东西可以帮助您入门。

如果您定义，问题可以以更好的形式编写 $g=1/f$ . 然后你可以解决 $s$ 去寻找

s (g, x, ϕ) = \frac{α (x, ϕ)}{α (x, ϕ) + g - 1}

$s(g,x,\phi) = \frac{\alpha(x,\phi)}{\alpha(x,\phi) + g - 1}$

在哪里

α (x, ϕ) = {\begin{cases} \frac{1 + \frac{4}{10} ϕ e^{- x}}{10} & ϕ > 0 \\ \frac{1}{10} & ϕ \leq 0. \end{cases}

$\alpha(x,\phi) = \begin{cases} \frac{1+\frac{4}{10}\phi e^{-x}}{10} & \phi>0 \\ \frac{1}{10} & \phi \le 0.\end{cases}$

那么你的守恒定律就是

g_{x} - {(s (g, x, ϕ) g)}_{ϕ} = 0,

$g_x - \left( s(g,x,\phi) g \right)_\phi = 0,$

它看起来像一个传统的标量双曲 PDE。特征方法将允许您在特征交叉的“时间”之前找到解决方案。您可能需要一个牛顿求解器和一个 ODE 求解器来实现该方法。

如果您想通过数值离散化计算近似解，我建议您使用以下方法：

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