给定数据点，polyfit度数产生唯一的插值多项式？
具体来说，这是一个代码示例：
x=[1:10]
y= x.^3;
pp = polyfit(x,y,9)
发出以下警告的地方：
Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with
distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try
centering and scaling as described in HELP POLYFIT.
> In polyfit (line 79)
pp确实是，应该是这样，但为什么这是病态的？插值仅对某些基是病态的（例如，单项式)，但不考虑其他人？
根据文档polyfit 是一个函数，它可以在最小二乘的意义上进行近似。为此，您可以选择最后一个输入参数，即度数。如果你把度数等于您处于插值环境中（对于迂腐的部分感到抱歉:-)）。
在这种情况下，正如 Federico 的回答所解释的，该函数构建Vandermonde 矩阵并求解相对线性系统（参见此处）。这个矩阵是病态的，当 matlab 尝试运行时
p = V\y
那么问题来了。请注意，matlab 尝试使用分解求解线性系统和当矩阵用 1 范数 matlab/octave 病态，，有错误信息。我在意大利语课程笔记中找到了这一点，目前我无法为您提供比这更好的参考（见幻灯片 10）。
为避免此问题，您可以使用Barycentric Lagrange Interpolation，请参阅Berrut 和 Trefethen 的此 pdf。摘要是一份很好的简历：
重心插值是拉格朗日多项式插值的一种变体，快速且稳定。它应该被称为多项式插值的标准方法。
您可以在此处找到 Greg von Winckel 的相应代码。
最后，这是一个线性系统。它的矩阵是病态的：cond(vander(1:10))returns 2.1063e+12。所以如果你改变y了一定的量，这个改变就会被放大（在最坏的情况下，使用相对误差）一个因子2.1063e+12。
即使没有制定诸如“插值仅对某些基的病态”之类的陈述，图片也应该很清楚（这并不完全正确：例如，如果您的节点是统一的根，则单项式基础中的插值是完美的条件良好）。
无论如何，这里的插值基是固定的：函数计算插值多项式相对于单项式基的系数，所以这就是我们最后必须返回的。