我不确定我是否理解这个问题，但是在 GMRES 中，您为空间建立了一个正交基$K_m \; \text{ for } m= 1 \dots N$. 在这个空间中，通用向量可以写成：

• $x_0 \in \mathbb{R}^N$
• $\text{dim}(V_m) = N \times m$
• $y \in \mathbb{R}^m$,$\text{dim}(y) = m \times 1$

在各个步骤中，算法计算唯一向量 $x_0 + K_m$使得最小化

现在的想法，就像在其他 Krilov 方法中一样，是在一个值之后获得一个好的近似值$m << N$， 如果$m=N$然后$K_m = \mathbb{R}^N$整个空间，你就有了确切的解决方案。

笔记： $y, V$有一个不同的维度尊重你的问题，这是关键，即如果没有问题$P<N$，这是正常情况，因为矩阵和向量的维数不同。

更多细节的一个很好的参考是：

• 萨德，优素福。稀疏线性系统的迭代方法。工业与应用数学学会，2003 年。

如果$A$可逆且 Krylov 子空间$v,Av,A^2v,\ldots$之后停止扩展$m$步，然后 GMRES（和其他合理的 Krylov 方法）最多收敛到精确解$m$步骤（假设精确算术）。

证明：

的最小多项式$A$是最小度数$q$这样$q(A)=0$. 总是$m\ge n$.

从http://www.maths.lth.se/na/courses/NUM115/NUM115-05/krylov.pdf p.~5 我们得到：

引理让$m$是非奇异的最小多项式的次数$A\in C^{n\times n}$. 然后$A^{-1}=\sum_{i=0}^{m-1}\alpha_i A^i$. 因此，$A^{-1}b=\sum_{i=0}^{m-1}\alpha_i A^i b\in K_m$. 而且，$m=\sum_i m_i$， 在哪里$m_i$是特征值的最大 Jordan 块的大小$i$.

根据引理，那么$x\in K_m$，QED。

不过，一般$m$接近$n$（和$m=n$几乎所有的随机矩阵），所以这不是 GMRES 好的原因。

根据我表面的 Matlab 测试，Krylov 并不比随机子空间好，因为随机$A,\ b$. 因此，GMRES（和其他 Krylov 方法）需要预处理，除非矩阵恰好是好的。然而，在实践中，它通常或至少经常这样做。然而，预处理通常对于足够快的收敛至关重要。

收敛取决于特征值。如果特征值处于紧束中（或大多数特征值与$b$位于许多紧束中），然后 Krylov 方法$Ax=b$往往运作良好。

然而，一些方法，如 IDR(s) 或 BiCGSTAB 不喜欢实矩阵的非常非实特征值（然后分别使用 IDRstab 或 BiCGSTAB(l)）。IDR* 优于 BiCGSTAB，如果$A+A^*$是非常不确定的。有关选择方法的更多信息，请参阅https://scicomp.stackexchange.com/a/34521/34228。