我正在解决以下形式的问题：

$\dfrac{\partial u(x,y,t)}{\partial t} = \nabla^2 u(x,y,t) - f(x,y,t)u(x,y,t) - \kappa(x,y,t)$

目前，我在每个时间步都通过假设准稳态来解决这个问题：

$\nabla^2 u(x,y,t) = f(x,y,t)u(x,y,t) + \kappa(x,y,t)$

为此，我使用有限差分，这意味着在每个时间步解决以下问题（暂时忘记边界条件，但作为参考，它们是 Neumann）：

$\dfrac{u^t_{i, j+1} + u^t_{i+1, j} + u^t_{i, j-1} + u^t_{i-1, j} - 4u^t_{i,j}}{h^2} = f^t_{i,j} u^t_{i,j} + \kappa^t_{i,j}$

这意味着我必须解决以下形式的线性系统：

$Ax = b$

其中是由拉普拉斯算子和项组成的矩阵。对于我的 100x100 系统（导致大小为 10000x10000 的拉普拉斯算子），使用 Eigen 的 C++ 库求解器：SimplicialLLT，每个时间步大约需要 0.4 秒。但是，我想以任何可能的方式加快解决速度。问题是我可以做的预处理有限，因为矩阵每个时间步都会发生变化。$A$$f^t_{i,j} u^t_{i,j}$$A$

有没有人有任何想法？有限元、谱方法、非稳态近似都受到欢迎。

在任何人问之前，术语和无法提前预测，因为它们取决于。因此，我认为并行化是不可能的。$f^t_{i,j}$$\kappa^t_{i,j}$$u^{t-1}_{i,j}$

最好的，

本