计算科学 - 使用 FEM 获得 2D 和 3D 近似误差的参考 - 吾爱随笔录

使用 FEM 获得 2D 和 3D 近似误差的参考

计算科学参考请求

2021-12-17 00:48:25

我目前正在寻找一个详尽的参考，它通过在 2D 和 3D 中使用有限元方法来涵盖椭圆二阶问题（如拉普拉斯狄利克雷问题）的大部分近似误差。

例如，在 2D 中，您可以获得最优误差估计：

‖ u - R_{h} u ‖_{H^{1}} = O (h^{r}),

$\| u - R_hu \|_{H^1} = \mathcal{O}(h^r),$ 在哪里

R_{h} : V \to V_{h}

$R_h: V \to V_h$ 是来自保形空间的 Ritz-Projector（又名 Galerkin-Projector）

V

$V$ ，其中陈述了变分问题，进入有限元空间

V_{h}

$V_h$ 分段多项式的次数

r

$r$ （在右边界边缘具有适当的零条件）在网格大小的网格上

h

$h$ . 当然，这只有在我们假设解决方案足够规则时才有效，即

u \in H^{r + 1} \cap V

$u \in H^{r+1} \cap V$ .

在大学里，我主要研究 Braess 的书，这几乎是德国的标准文献，但它只涵盖了 2D 的案例。我假设可以在 3D 中获得类似的结果，但可能会有点复杂。

2个回答

对于椭圆问题的标准有限元，我们经常发现在 n 维分析（n=2,3，...）中没有根本差异，因为大多数部分与维度无关，只要所考虑的元素具有最佳近似属性并且我们有足够的规律性（这对于更高的空间维度可能是一个复杂的问题）。因为解的规律性与域的类型有关，一些作者倾向于固定 n=2 和/或某些类型的计算域（例如（凸）多边形）以简化表示。通常他们会说，如果规律性足够，分析会直接扩展到更一般的情况。

涵盖 n 维情况的经典参考文献例如是 Ciarlet 1978 年的著作“椭圆问题的有限元方法”。Ciarlet 和 Lions 在涵盖 n 维情况的“数值分析手册”系列中也有贡献。

有限元文献中通常没有证明足够的规律性，而是假设或引用（例如，在 Grisvards 1985 年出版的“非光滑域中的椭圆问题”或 Wolfgang 提到的 Gilbarg 和 Trudinger 的书中）。

要证明收敛速度，您需要执行两个步骤：首先，您需要能够证明 Galerkin 误差可以以插值误差的固定倍数为界：

‖ u - R_{h} u ‖_{H^{1}} \leq C inf_{φ_{h} \in V_{h}} ‖ u - φ_{h} ‖_{H^{1}} .

$\|u-R_h u\|_{H^1} \le C \inf_{\varphi_h \in V_h} \| u-\varphi_h \|_{H^1}.$ 对于拉普拉斯方程，这一步很简单，不依赖于空间维度。那么，当然也有

‖ u - R_{h} u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ u - I_{h} u ‖_{H^{r + 1}} .

$\|u-R_h u\|_{H^1} \le C \| u-I_h u \|_{H^{r+1}}.$

第二步是显示插值估计从概念上讲，这一步只需要像泰勒展开到并考虑余数项。但是，它通常以更抽象的方式显示，同样，您并没有真正利用空间维度，也没有实际上是连续的——您只需要解决方案在中。

‖ u - I_{h} u ‖_{H^{1}} \leq C h^{r} ‖ u ‖_{H^{r + 1}} .

$\|u-I_h u\|_{H^1} \le C h^{r} \| u \|_{H^{r+1}}.$

r

$r$

u

$u$

H^{r + 1}

$H^{r+1}$

那么什么时候？您可以在 Gilbarg 和 Trudinger 的著作中找到此类问题的答案。但是已经提供了最重要的情况：如果域是凸多面体，则，在任何空间维度。 $u\in H^{r+1}$ $u\in H^2$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇3D 泊松方程、傅里叶和切比雪夫下一篇来自向量的圆形图，表示沿半径表面的温度，每个半径都相同