您还没有通过最小化来解释您的意思$m$元素列向量$A_{1}x$. 有大量文献专门讨论“多准则优化问题”或“向量优化问题”来解决这个问题。

你对偏序感兴趣吗$x \succeq y$如果$x_{i} \geq y_{i}$为了$i=1, 2, \ldots, m$? 例如，在这个排序中，

$\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right] \succeq \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right]$

但是之间没有排序

$\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right]$

和

$\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]$

由于这种逐个组件的比较仅提供部分顺序，因此您能做的最好的事情就是找到一个帕累托最优解——这是一个可行的向量$x^{*}$这样对于每个其他可行向量$x^{'}$， 任何一个$x^{'} \succeq x^{*}$， 要么$x^{'}$和$x^{*}$无法比较。

为此类问题寻找帕累托最优解的标准技术称为“标量化”。在这种技术中，您将向量目标函数乘以权重向量，然后对加权目标函数进行常规标量最小化。

关于向量优化问题和标量化技术的介绍可以在 Stephen Boyd 和 Lieven Vandenberghe 的凸优化教科书中找到。