我的问题是关于使用有限差分法 (FDM) 和有限体积法 (FVM) 求解控制方程 (GE) 的保守形式和非保守形式，如连续性或纳维斯托克斯方程。
在阅读有关 GE 的保守形式和非保守形式之间的差异时，有人说，由于在保守形式中，因变量是通量（而不是原始变量），它们更好地守恒并且“物理”正确。（除其他事项外）
在阅读 FDM 和 FVM 之间的差异时，据说有限体积更能保存通量，这是一个优势。（除其他事项外）
以下是我的问题：
使用 FVM 时，我们是否只求解保守形式的方程？
当使用 FDM 求解 GE 的保守形式时，通量是守恒的，还是仅在使用 FVM 求解方程时才适用。
如果我们使用 FDM 以保守形式求解 GE，然后使用 FVM 会有什么区别？即 FDM 和 FVM 方法的“保守性”是否相同？
通常是的。您可能还有一个 pde，它同时具有保守和非保守/源术语，您可以将 fvm 应用于此类问题。有一些非保守系统的方法可以称为有限体积方法，因为它们基于计算单元面的一些波动。这些是基于路径保守方案的思想[1]。
有一些 fdm 方法可以应用于保守系统，并且是保守的。我最了解的是应用于双曲守恒定律的有限差分 WENO 方案 [2]。
差异超出了二阶精度。FVM 需要更高阶的精确通量积分计算，因此可能更加复杂和昂贵，因为求积需要更多的通量计算。FDM 近似于导数并且可以更便宜[3]；您沿每个坐标方向应用一维有限差分。
[1] https://doi.org/10.1137/050628052
我将尝试对此发表我的看法。
有限体积方法通过加权残差统一框架描述为子域方法的搭配。这意味着方程的残差在每个子域上分别完全为零。这是适用于任何 PDE 的通用方法。如果所讨论的方程描述的是守恒定律（质量、线性动量、能量），则在子域（控制体积）上残差为零的要求意味着感兴趣的量在子域内是守恒的，并且近似解满足守恒域的给定分解规律。近似解可能不够平滑，但满足守恒定律。
这种观点可以外推到其他两点（2 和 3）而不会失去答案的保守性，但它需要特殊处理（FDM 双关语）。