让我们假设$k > 0$是严格积极的。

数学上的初始条件$t=0$因为扩散或“热”方程可能是粗糙的（不连续的），只要它们是平方可积的，PDE 的解算子（例如，具有周期性边界条件）将立即将该数据平滑到每个处的解析函数$t \gt 0$.

所以我们可以认为初始条件是周期性的，但在端点处是不连续的（这不影响平方可积性），并且在所有后续时间中，解都变得平滑周期性。

请注意，如果$k$被替换为$-k$，这样我们就有了“向后”的热方程，那么平滑特性就消失了，解变得不稳定。正如维基百科文章所说：

通常，许多不同的状态和起始条件将趋向于相同的稳定平衡。因此，除非在最短的时间段内，否则要反转解决方案并从当前的热分布中得出有关早期时间或初始条件的结论是非常不准确的。

很简单。因为每个傅立叶函数都是周期性的，所以您可以“选择”$n,m$和$p$在您的问题中，它们将是边界频率的倍数。

所以..假设你有一个周期性的长度边界$a$在 z... 然后$p=\frac{a.k}{2\pi}$其中 k 为整数。然后$e^{ipz}$将服从所有 k 值的边界条件。