计算科学 - Jos Stam 的稳定流体——为什么在减去无卷曲部分时乘以网格大小？ - 吾爱随笔录

计算科学流体动力学

2021-12-19 06:58:03

考虑到Jos Stam 的 GDC关于稳定流体的教程的第 10 页，该函数project()首先获得速度场的散度：¹

div[IX(i,j)] = -0.5*(u[IX(i+1,j)]-u[IX(i-1,j)]+
                     v[IX(i,j+1)]-v[IX(i,j-1)]) / N;
p[IX(i,j)] = 0;

然后从原始速度场中减去一个无旋度的部分，得到一个没有发散的速度场：

u[IX(i,j)] -= 0.5*(p[IX(i+1,j)]-p[IX(i-1,j)]) * N;
v[IX(i,j)] -= 0.5*(p[IX(i,j+1)]-p[IX(i,j-1)]) * N;

这对我来说通常是有意义的，除了一件事：我大致理解为什么第一个代码块除以- 使用有限差分计算规则网格上的N散度涉及除以相邻网格单元之间的距离。但是为什么第二个代码块乘以N？我认为计算均匀网格上的梯度也将涉及除以N，就像计算散度一样。

¹ 为了便于阅读，在下面的代码块中，我替换了h = 1.0/N本文实现中使用的倒数。

1个回答

对于散度计算：我们要求解的泊松方程是这是通过在守恒方程两边取散度和给出的，因为我们假设结果速度场应该是无散度的。

\nabla \cdot \nabla p = \nabla \cdot u_{o l d} .

$\nabla \cdot \nabla p = \nabla \cdot u_{old}.$

\nabla \cdot u_{n e w} = 0

$\nabla \cdot u_{new}=0$

然后在同位网格上离散两边：

\frac{p_{i + 1, j} + p_{i - 1, j} + p_{i, j + 1} + p_{i, j - 1} - 4 p_{i, j}}{h^{2}} = \frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1}}{2 h}

$\frac{p_{i+1,j}+p_{i-1,j}+p_{i,j+1}+p_{i,j-1}-4 p_{i,j}}{h^2} = \frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}+u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2 h}$

两边乘 $h^2$

p_{i + 1, j} + p_{i - 1, j} + p_{i, j + 1} + p_{i, j - 1} - 4 p_{i, j} = (u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1}) \frac{h}{2}

$p_{i+1,j}+p_{i-1,j}+p_{i,j+1}+p_{i,j-1}-4 p_{i,j}= (u_{i+1,j}-u_{i-1,j}+u_{i,j+1}-u_{i,j-1}) \frac{h}{2}$

这就是为什么你在计算散度（即 rhs）时得到 $h/2=0.5/N$

对于速度更新部分，使用压力梯度更新新速度，然后有限差分为您提供因子。 $1/(2h) = 0.5 N$

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