计算科学 - 具有两种不同狄利克雷边界条件的有限元方法 - 吾爱随笔录

我有这样的问题

- △ u = f o n Ω u = g_{1} o n \partial Ω_{1} u = g_{2} o n \partial Ω_{2}

$-\triangle u = f \ \ on\ \Omega \\ u = g_1 \ \ on \ \partial \Omega_1 \\ u = g_2 \ \ on \ \partial \Omega_2$ 如果我们选择

V_{1} = {ν_{1} \in H^{1} : ν_{1} = 0 o n \partial Ω_{1} ⋃ \partial Ω_{2}} V_{2} = {ν_{2} \in H^{1} : ν_{2} = g_{1} o n \partial Ω_{1} a n d ν_{2} = g_{2} o n \partial Ω_{2}}

$V_1 = \{ \nu_1 \in H^1 : \nu_1 = 0 \ on\ \partial \Omega_1 \bigcup \partial \Omega_2 \} \\ V_2 = \{ \nu_2 \in H^1 : \nu_2 = g_1 \ on\ \partial \Omega_1 \ and\ \nu_2 = g_2 \ on\ \partial \Omega_2 \}$

如果 $v\ \in V_1$ 和 $u\ \in \ V_2$ , 并分解 $u$ 分为三个区域 $u = u_{ \Omega}+ u_ {\partial \Omega_1} + u_{\partial \Omega_2}$ ，使用此定义的问题的周表述将是

\int_{Ω} ▽ u . ▽ ν_{1} d x = \int_{Ω} f ν_{1} d x - \int_{Ω} ▽ u_{g_{1}} . ▽ ν_{1} d x - \int_{Ω} ▽ u_{g_{2}} . ▽ ν_{1} d x

$\int_{\Omega} \triangledown u.\triangledown \nu_1 dx = \int_{\Omega} f \nu_1 dx - \int_{\Omega} \triangledown u_{g_1}.\triangledown \nu_1 dx - \int_{\Omega} \triangledown u_{g_2}.\triangledown \nu_1 dx$ 基函数的定义，特别是在边界上的定义是否正确，即在两个边界上强制为零

V_{1}

$V_1$ 和相等的边界值

V_{2}

$V_2$ 在边界上？