计算科学 - Poisson 的 FEM 解决方案在节点处不精确 - 吾爱随笔录

让我们考虑 FEM 的常见泊松问题

- u^{″} (x) = 1 x \in [0, 1]

$-u''(x)=1 \quad x \in [0,1]$ 具有齐次狄利克雷边界条件。解决方案是

u (x) = - \frac{1}{2} x (x - 1)

$u(x)=-\frac{1}{2}x(x-1)$

我知道 FEM 解决方案（我假设线性元素）在节点处是精确的，正如这里所指出的那样

我以恒定的步长实现了我的代码。查看内部节点，刚度矩阵具有条目对于（对角元素），我获得，而对角线为。 $h$

(A)_{i j} = \int ϕ_{i}^{'} ϕ_{j}^{'} d x

$(A)_{ij}=\int \phi_i' \phi_j' dx$

i = j

$i =j$

A_{i i} = 2 / h

$A_{ii}=2/h$

A_{i, i - 1} = A_{i - 1, i} = - 1 / h

$A_{i,i-1}=A_{i -1,i}=-1/h$

负载向量具有条目最后，我获得了与有限差分相同的矩阵，因此我期望二阶。为什么恢复网格点的精确解？（模机精度）？

(f)_{i} = (1, ϕ_{i}) = h

$(f)_i=(1,\phi_i)=h$