计算科学 - 如何计算带狄利克雷边界条件的线性平流方程的解析解？ - 吾爱随笔录

计算科学平流

2021-12-18 08:17:04

我试图找到以下形式的线性平流方程的解：

$\frac {\partial c}{\partial t}+u\frac {\partial c}{\partial x}=0$

$c(x,0)=0$

$c(0,t)=\{c_0 \ \text{for}\ t \leq t_1 \text{and}\ 0 \ \text{for}\ t>t_1$

有谁能够帮我？

1个回答

将您的解向右移动（假设并且独立于和）。 $u$ $u > 0$ $u$ $t$ $x$

在时间的速度将等于的常数解移到域中。到（您的初始值）的“跳跃”最初位于，因此将以速度向右移动，因此位于（因为它从开始）。所以直到时间，您的解决方案将是 $t_1$ $c_0$ $u$ $c_0$ $0$ $x=0$ $u$ $x = u*t$ $x=0$ $t_1$

c (x, t) = c_{0}

$\begin{equation} c(x,t) = c_0 \end{equation}$

对于和 $0 \leq x \leq u t$

c (x, t) = 0

$\begin{equation} c(x,t) = 0 \end{equation}$ 对于。

x > u t

$x > u t$

在时间，您的边界条件发生变化，您现在开始将第二次从跳转到到域中，速度再次为。因此，您现在有一个“锯齿”形状的解决方案，其右边缘位于处，左边缘位于处。 $t_1$ $c_0$ $0$ $u$ $x = u*t$ $x = u(t - t_1)$

因此，对于，您的解决方案是 $t > t_1$

c (x, t) = c_{0}

$\begin{equation} c(x,t) = c_0 \end{equation}$

如果和 $u(t - t_1) \leq x \leq u t$

c (x, t) = 0

$\begin{equation} c(x,t) = 0 \end{equation}$ 对于的所有其他值。

x

$x$

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