计算科学 - 从复特征向量计算实正态模式 - 吾爱随笔录

计算科学特征值复数

2021-12-18 08:35:43

我正在尝试使用线性阻尼弹性结构的基本动力学方程来获得弹簧和阻尼系统的正常模式：

$M \ddot{u}(t) + C \dot{u}(t) + K u(t) = f(t)$

要获得正常模式，必须解决以下 QEP（二次特征值问题）

$(\lambda^2M+\lambda C+K)\bar{\psi}$ = 0

这个问题可以通过线性化来解决，将其转换为广义特征值问题，这通常会导致复杂的特征向量。

如何将这个复杂的特征向量转换为实数，代表结构每个模式的实际位移？有没有实现这个功能的库？

1个回答

当您找到特征值和相应的特征向量时，其中一些可能是复共轭特征向量对对应于复共轭特征值。 $\lambda_n$ $u_n$ $u_n=v_n\pm iw_n$ $\lambda_n=a_n\pm ib_n$

通常，与特征值及其特征向量相关的模式可以找到为现在对于特征值和向量的复共轭对的情况，只选择一对并将它们替换为上述关系。例如，假设请注意，您也可以使用“ ”而不是“ ”来选择特征值和向量。然后将它们插入模式的关系中并简化（使用欧拉公式计算复数并做一些代数）你会发现

x_{n} (t) = e^{λ_{n} t} u_{n}

$x_n(t)=e^{\lambda_n t}\,u_n$

λ_{n} = a_{n} + i b_{n},

$\lambda_n=a_n+ib_n,$

u_{n} = v_{n} + i w_{n}

$u_n=v_n+iw_n$

-

$-$

+

$+$

x_{n} (t)

$x_n(t)$

x_{n} (t) = e^{(a_{n} + i b_{n}) t} (v_{n} + i w_{n}) \Rightarrow

$x_n(t)=e^{(a_n+ib_n)t}\,(v_n+iw_n)\Rightarrow$

\Rightarrow x_{n} (t) = e^{a_{n} t} [\cos (b_{n} t) v_{n} - \sin (b_{n} t) w_{n}] + i e^{a_{n} t} [\sin (b_{n} t) v_{n} + \cos (b_{n} t) w_{n}]

$\Rightarrow x_n(t)=e^{a_nt}[\cos(b_nt)v_n-\sin(b_nt)w_n]+ie^{a_nt}[\sin(b_nt)v_n+\cos(b_nt)w_n]$

通过这种方式，您已将模式分解为其实部和虚部。对于线性特征值问题，实部和虚部都是问题的实解；所以你会找到两个真实的解决方案来代表你的结构的真实位移模式。您应该重做上述关系中的简化，以确保我没有遗漏任何东西！

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