计算科学 - Duhamel积分的数值评估 - 吾爱随笔录

我正在尝试对以下 Duhamel 积分进行数值评估：

x = \frac{- 1}{ω_{d}} \int_{0}^{t} {\ddot{x}}_{g} (τ) e^{- ζ ω_{n} (t - τ)} \sin (ω_{d} (t - τ)) d τ

$x = \frac{-1}{\omega_d} \int_0^t \ddot{x}_g (\tau) e^{-\zeta \omega_n(t - \tau)} \sin{\left( \omega_d (t - \tau) \right)} d\tau$ 在哪里

ω_{d}

$\omega_d$ ,

ζ

$\zeta$ 和

ω_{n}

$\omega_n$ 是常数。

根据我们的数据， $\ddot{x}_g(t_i)$ 在每个离散时间增量上给出 $t_i$ ，但我很难计算 $x(t_i)$ ，或者 Duhamel 的积分，对吗？

在我的 MATLAB 脚本中，我尝试存储 $e^{-\zeta \omega_n(t_i)} \sin{\left( \omega_d (t_i) \right)}$ 到一个数组H，然后是的数值 $\ddot{x}(t_i)$ 为了 $i = 1, \cdots N$ 存储在另一个数组中xdd（与相同的维度H）。然后我尝试在 MATLAB 中使用卷积函数，即：

X = conv(xdd, H)

但是，看起来我的尝试并没有奏效。我的问题以及我尝试过的问题是：

从文档中，得到的长度为X，length(xdd) + length(H) - 1但不应该X与xdd（用于存储 $\ddot{x}$ )? 我希望在每个值 $\ddot{x}$ , 会有一个对应的值 $x$ . 因此，X和xdd应该具有相同的维度。但这里似乎不是这样......
我还尝试了'same'上面 MATLAB 文档中的形状选项，但这似乎也没有给我正确的答案。我得到的结果X的频率比我们在分析上所期望的要高得多。
这是得出数值解的正确策略吗 $x$ ?