我正在尝试使用牛顿法来获得以下形式的方程组的平稳解：

$$\begin{Bmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} \\ 0 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} f(x, y) \\ g(x, y) \end{Bmatrix}$$

对于向量$x$和$y$.

由于我试图解决的方程的性质，雅可比可以用以下形式表示：

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$$

这样$A$和$C$是稠密矩阵，而$B$和$D$是稀疏的。还应注意，对角线中的元素$A$和$C$比那些在$B$和$D$（约 100 次）。

当我使用高斯消元法解决线性问题时，牛顿的方法非常有效，并且雅可比行列式的特征值使得该算法不会面临严重的数值问题。

但是，对于较大的问题，我需要使用迭代方法，并且当将矩阵作为一个整体时，使用 GMRES、IDR(s) 或双共轭梯度稳定方法无法适当地解决线性问题，所以我想另一种技术或预防措施可能是必要的。

我尝试过使用不完整的 LU 分解和对角预处理器进行预处理，但两者都失败了。单独求解块时$A$和$D$，然而，人们注意到线性系统$A\Delta x = - f(x, y)$表现出与完全雅可比行列式相同的行为，而$D \Delta y = - g(x, y)$可以通过我上面引用的任何 Krylov 子空间算法轻松解决。

是否有任何算法可以帮助解决线性系统？