我正在尝试从 Briggs 的 Multigrid Tutorial 中找出问题。但是我被这两个问题困住了。

https://www.researchgate.net/publication/220690328_A_Multigrid_Tutorial_2nd_Edition

(a) 证明 Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征值问题，$R_{G} \mathbf{w}=\lambda \mathbf{w}$, 可以表示为$U \mathbf{w}=(D-L) \lambda I \mathbf{w}$， 在哪里 $U, L, D$在文本中定义。

(c) 证明特征向量和特征值与$\lambda_{k}$=$\cos ^{2}\left(\frac{k \pi}{N+1}\right)$是$w_{k, j}=\left[\cos \left(\frac{k \pi}{N+1}\right)\right]^j \sin \left(\frac{j k \pi}{N+1}\right)$.

我的尝试

对于 a 部分，我得出$R_{G}=(D-L)^{-1} U$其中D，L，U是A的对角矩阵。我不确定如何得到问题（a）所示的答案。

我无法展示 c 部分的特征向量和特征值关系。