多重网格背后的主要思想是投影。我试着这样想：

假设我想以很高的精度求解 PDE，因此我继续在具有很多很多点的非常精细的网格上离散域（比如说，使用有限差分法）。最后，我设置了我的方程组，并准备解决它。我尝试使用我最喜欢的迭代求解器（jacobi、gauss seidel、共轭梯度等）。我继续等待超过一天，并意识到我的计算机仍在尝试计算答案！！！

这些迭代方法不能快速工作的原因是（通常）当您设置这样的大型方程组时，矩阵本身的特征值非常接近 1。为什么这很重要？因为许多迭代方法的收敛速度与最大特征值成反比（请参阅 Christian Clason 到 Brigg 的多重网格教程幻灯片的链接，第 1 部分，第 27 页）。因此，最大特征值越接近 1，迭代方法越慢。（注意：这有点过于简单化了，但它有助于激发对多重网格的需求）。

显然，如果未知数较少（即在网格点较少的粗网格上），解决问题总是更快。但更重要的是，较粗网格上的解（或近似解）是解决较细网格上问题的良好起点。 这是大多数（如果不是全部）多重网格方法背后的关键思想。为什么会这样？直观地说，这是有道理的，但有一种数学上严谨的方法可以证明这一点。

让我们看一下应用于原始细网格问题的迭代方法（为了论证，假设为 jacobi 或 gauss seidel）中误差的傅立叶模式。我们会看到，在最初的几次迭代中，大部分高频（高度振荡）错误都被消除了！这很好，但是仍然存在低频（较少振荡）误差并且不会很快消失。事实上，正是低频误差阻止了标准迭代方法快速收敛。

当我们在较粗的网格上解决问题时（比如说，通过像 jacobi 或 gauss-seidel 这样的迭代方法），我们基本上能够比在细网格上更快地（即在更少的迭代中）消除低频误差。因此，如果我们解决粗网格问题，我们的解决方案的低频误差已显着减少。因此，它可以作为更精细网格上的迭代方法的起点。

虽然有不同的多重网格方法，但它们中的大多数都通过以下一些变化进行操作：

1. 从细网格问题开始
2. 投影到粗网格上（也称为限制）
3. 在粗网格上近似解（使用其他求解器）
4. 将粗网格解投影到细网格上（也称为延长）
5. 使用来自 4. 的投影作为初始猜测，通过迭代方法解决精细网格问题。

对我来说，多重网格方法最困难的部分是网格之间的投影。@ChristianClason 建议的 Briggs 教程比我能更好地处理这个主题。

这个网站可能不是一个用伪代码要求详细解释的好地方（如常见问题解答中所述，“如果你能想象一整本书可以回答你的问题，那么你问的太多了。”），所以你可能想要从有关该主题的经典书籍之一（如下所列）开始，然后返回有关您遇到麻烦的具体细节的具体问题。

• Briggs, Multigrid Tutorial , SIAM, 2000 （您可以在此处和此处下载幻灯片）这是一个随意的来源，对多重网格原理进行了温和的介绍，主要针对椭圆问题。

• Brandt，Multigrid Techniques，修订版，SIAM 2011，（或下载pdf）。这是多重网格哲学和多尺度建模的重大发展，很有可能深刻改变您对隐式求解器的思考方式。 Achi Brandt 的网站包含更多参考资料，包括他的2000 Review of Multiscale Scientific Computation。

• Trottenberg, Oosterlee 和 Schueller, Multigrid , Academic Press, 2001这比 Brandt 有更多的工作示例，包括许多关于特定方法的实验和细节，特别是在流体动力学的背景下。

• Hackbusch, Multigrid Methods and Applications , Springer, 1985 这提供了严格的收敛理论，包括 Fredholm 积分算子的“第二类多重网格”。

另一个经典：

• Wesseling，多重网格方法简介，John Wiley & Sons，1992。

示例代码可以在MGNet上找到