我在一篇论文中发现了以下 PDE 问题：

本质上，我们有一个矩形域，其中有一个未知界面顶部的空气底部的液体） . 我们需要求解拉普拉斯方程（3），在和和时求解Neumann BC （方程 4-7）。在界面，我们有电场和电势的通常匹配条件。已知，这只是拉普拉斯方程的标准问题。然而，是未知的，它必须满足一个加法方程（10）。$z=\xi(x)$$i=a$$i=b$$z=0$$z=a+1$$x=0$$x=\pi/k$$z=\xi(x)$$z=\xi(x)$$z=\xi(x)$$\tau_e$是取决于的电应力。是一个标量未知数，也需要确定。服从 Neumann BC (eq. 13) 和积分约束 (eq.12)。所以总的来说，我们需要解决、和。论文刚刚说它是由有限元法解决的，但我不知道如何设置它。是否有任何通用策略来解决这种界面也是未知的拉普拉斯方程？$\phi_i$$K$$z=\xi(x)$$\phi_i(x,z)$$\xi(x)$$K$

更新：添加图表以更好地说明问题