计算科学 - 减少边界处通量一致性阶对收敛阶的影响 - 吾爱随笔录

考虑一维非平稳对流扩散 PDE 其中是常数，而是给定的函数。问题是对流主导的（即）。

\begin{aligned} \partial_{t} u & = - a \partial_{x} u + D \partial_{x x} u, & x \in (0, 1), t \in (0, T), \\ f (t) & = {(a u - D \partial_{x} u) |}_{x = 0} & t \in (0, T), \\ 0 & = {- D \partial_{x} u |}_{x = 1} & t \in (0, T), \\ u_{0} & = {u |}_{t = 0} & x \in (0, 1), \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \partial_t u &= -a \partial_x u + D \partial_{xx}u, &\qquad x \in (0,1), t \in (0,T), \\ f(t) &= \left.\left( a u - D\partial_x u \right) \right|_{x=0} & \qquad t \in (0,T), \\ 0 &= \left. -D\partial_x u \right|_{x=1} & \qquad t \in (0,T), \\ u_0 &= \left. u \right|_{t=0} & \qquad x \in (0,1), \end{alignat}$

a, D > 0

$a, D > 0$

f, u_{0}

$f,u_0$

a ≫ D

$a \gg D$

采用均匀网格的以单元为中心的有限体积法对空间中的偏微分方程进行离散化。在内部，可以使用扩散通量的中心差异和二阶精确对流通量（例如，QUICK）。及时使用 Crank-Nicolson 获得整体二阶收敛方案。

边界条件消除了边界离散化中的扩散通量。然而，对于第一个和最后一个单元的右侧面，没有足够的相邻单元来应用二阶对流通量（即，QUICK 方案需要一个面的左侧和右侧单元以及一个额外的上游单元）。

现在，对于这两个面，使用了逆风通量，这只是一阶准确的。从理论上讲，整个方法因此被简化为一阶一致性。

不过，在计算实验中，观察到了二阶收敛。这表明在的区域中犯错误本身会导致错误，这不会妨碍整体收敛。 $O(h)$ $O(h)$ $O(h^2)$ $O(h^2)$

这个推理正确吗？如何证明/是否有任何参考资料？

根据(Randall LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, Sec. 2.12)，这不适用于具有中心和单边有限差分的 Poisson 方程。所以它可能不普遍成立（即一般方程类型，一般离散化方法）。