计算科学 - FEM 中双线性形式的下界 - 吾爱随笔录

FEM 中双线性形式的下界

计算科学有限元误差估计

2021-12-23 18:59:56

我正在为具有混合边界的椭圆二阶 PDE 寻找 FEM 中出现的双线性形式的下界。

我做了一些研究，发现：

max_{v_{h} \in V_{h} (Ω)} a (v_{h}, v_{h}) \geq C h^{d - 2},

$\max_{v_{h}\in\mathcal{V}_h(\mathcal{\Omega})}a(v_{h}, v_{h}) \geq Ch^{d-2}\, ,$

其中 $d$ 是域的维度， $C$ 是正常数， $h$ 是网格尺寸。

双线性形式定义为 $a(v_h,v_h):= \int_\Omega \nabla v_h A \nabla v_h \, d\Omega$ 和 $A$ 是一个椭圆算子。

我经常发现这个界限，但没有一个单一的证据。有谁知道一些文献或证明是如何工作的？

1个回答

我同意应该是一个对称的正矩阵，其最小特征值的边界远离 0。让表示您的结果矩阵，表示同一网格上拉普拉斯算子的 FEM 矩阵。然后你写其中是任意的元素矩阵。 $A$ $K_A$ $K$

max_{v \neq 0} \frac{v^{T} K_{A} v}{v^{T} v} \geq λ_{m i n, A} max_{v \neq 0} \frac{v^{T} K v}{v^{T} v} \geq λ_{m i n, A} max_{v \neq 0} \frac{v^{T} k_{e l e} v}{v^{T} v}

$\max_{ v \neq 0 } \frac{ v^T K_A v }{ v^T v } \geq \lambda_{min, A} \max_{ v \neq 0 } \frac{ v^T K v }{ v^T v } \geq \lambda_{min, A} \max_{ v \neq 0 } \frac{ v^T k_{ele} v }{ v^T v }$

k_{e l e}

$k_{ele}$

其中一个任意元素矩阵的最大特征值为。 $O(h^{d-2})$

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