计算科学 - 将通量限制器应用于非线性双曲方程 - 吾爱随笔录

计算科学数值分析双曲-pde

2021-12-03 19:53:22

我正在尝试求解 LWH 交通流量方程，这是一个非线性双曲方程

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial (v ρ)}{\partial x} = 0,

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (v\rho)}{\partial x}=0,$ 在哪里

v = v_{0} (1 - \frac{ρ}{c}) .

$v=v_0(1-\frac{\rho}{c}).$

$v_0$ 是一个给定的常数，可能会或可能不会随位置变化，它代表车辆的最佳速度， $\rho$ 是汽车的密度，并且 $c$ 是一个给定的常数。

对于不连续的初始条件，简单地使用 Lax-Wendroff 会产生过冲。所以我正在考虑添加一个通量限制器，比如 Superbee。

但是我读过的大部分资源只讨论了将通量限制器应用于线性方程。那么对于这个非线性问题，我应该如何将通量限制器应用于 Lax-Wendroff 呢？

1个回答

免责声明：我接下来要写的所有内容都是从已经提到的讲义中浓缩出来的，这些讲义对这个主题进行了仔细的处理。

您找不到像您一样将通量限制器应用于一般非线性通量的原因 $f(\rho) = \rho v(\rho)$ 在于您无法计算数值通量

F_{i + 1 / 2}^{(n)} = \frac{1}{Δ t} \int_{t^{(n)}}^{t^{(n + 1)}} f (ρ (x_{i + 1 / 2}, τ)) d τ

$F_{i+1/2}^{(n)} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t^{(n)}}^{t^{(n+1)}} f\big(\rho(x_{i+1/2}, \tau ) \big) \mathrm d \tau$ 不知道你的解决方案

ρ

$\rho$ . 因此，您无法计算要限制的数值通量。这适用于像传输方程这样的线性通量的原因

f (ρ) = a ρ

$f(\rho) = a \rho$ 是解析解是已知的：

ρ (x, t) = ρ_{0} (x - a (t - t_{0}))

$\rho(x, t) = \rho_0\big(x - a(t - t_0) \big)$ . 这使您可以显式计算通量积分。（尽管这有点胡说八道，因为您已经知道分析解决方案）。

解决这个问题的方法是 REA 框架（参见注释的第 64 页），它导致应用斜率而不是通量限制器。

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