计算科学 - 二维三次试验函数的 FEM 刚度和质量矩阵 - 吾爱随笔录

我想使用 FEM 来解决双调和方程的二维特征值问题

\begin{aligned} K ψ = λ M ψ \\ ψ = \nabla ψ \cdot \hat{n} = 0 on boundaries \end{aligned}

$\begin{align} &K \psi= \lambda M \psi\\ &\psi=\nabla \psi\cdot \hat{n}=0\quad \text{on boundaries} \end{align}$

在哪里 $K$ 是对应的刚度矩阵

K_{i j} = \int_{A} \nabla^{2} ψ_{i} \nabla^{2} ψ_{j} d A

$K_{ij} = \int_{A} \nabla^2 \psi_i \nabla^2 \psi_j \mathrm{d}A$

和 $M$ 是质量矩阵

M_{i j} = \int_{A} ψ_{i} ψ_{j} d A

$M_{ij} = \int_{A} \psi_i \psi_j \mathrm{d}A$

因为方程是四阶的，所以我使用三次试验函数，包括高度和斜率。

我知道如何获得一维的刚度和质量矩阵，但我被二维问题难住了。

有人知道合适的参考吗？