计算科学 - 时间相关薛定谔方程（时间相关哈密顿量） - 吾爱随笔录

这个问题已经在这里问过了，这是用于数值求解的方程的合适形式。

\begin{aligned} i \frac{\partial}{\partial t} u_{ℓ} (r, t) = (- \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} + \frac{ℓ (ℓ + 1)}{2 r^{2}} + V (r)) u_{ℓ} (r, t) \\ + \frac{2}{3} k (t) r^{2} \sum_{ℓ^{'} = m a x (ℓ - 2, 0)}^{m i n (ℓ + 2, L_{m a x})} (δ_{ℓ, ℓ^{'}} - \sqrt{\frac{4 π}{5}} α (ℓ, ℓ^{'})) u_{ℓ^{'}} (r, t) \end{aligned}

$\begin{align*} i\frac{\partial}{\partial t}u_{\ell}(r,t) = \Bigg(-\frac{1}{2} \frac{\partial ^2}{\partial r^2} + \frac{\ell(\ell+1)}{2r^2} + V(r)\Bigg)u_{\ell}(r,t)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \nonumber\\ + \frac{2}{3}k(t)r^2 \sum_{\ell' = {max}(\ell-2,0)}^{{min}(\ell+2,L_{{max}})} \Bigg(\delta_{\ell,\ell'} - \sqrt{ \frac{4\pi}{5}} \alpha(\ell, \ell') \Bigg) u_{\ell'}(r,t) \end{align*}$ 其中系数

α (ℓ, ℓ^{'})

$\alpha(\ell, \ell')$ 是（谁）给的

\begin{aligned} α (ℓ, ℓ^{'}) = \int Y_{ℓ 0}^{*} (Ω) Y_{20} (Ω) Y_{ℓ^{'} 0} (Ω) d Ω \end{aligned}

$\begin{align*} \alpha(\ell, \ell') = \int Y^*_{\ell0}(\Omega)Y_{20}(\Omega)Y_{\ell'0}(\Omega) d\Omega \end{align*}$

其中积分可以通过 Wigner-3j 系数求解（参见此处）。

任何人都可以提出一种有效的数值方法来求解方程吗？