给定一个域$\Omega$有 2 个子域$\Omega_1,\Omega_2$如下图

水平集方程

$$\partial_t\varphi + U\cdot\nabla\varphi =0$$

$U$速度是否只存在于内部$\Omega_1$. 我们猜测$U$是无旋的，即$\nabla \times U=0$, 这意味着速度场可以从势函数导出$\Phi$定义在$\Omega$这样$U=\nabla\Phi$. 势方程由下式给出

$$\begin{cases} -\nabla\cdot(\nabla\Phi)&=-\beta_S \quad \text{in }\Omega_1\\ -\nabla\cdot(\nabla\Phi)&=0 \quad \text{in }\Omega_2 \end{cases}$$ 和$\beta_S$给定的。

我想解决这个水平集方程，特别是对于不合适的网格，但我不知道这个问题是否合适。