计算科学 - 解析求解瞬态对流-扩散方程 - 吾爱随笔录

可以下列一维瞬态平流扩散和相应的初始和边界条件：

\frac{\partial c}{\partial t} + v \frac{\partial c}{\partial x} - D \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} = f \forall x \in (0, 1) c (x = 0, t) = 0 c (x = 1, t) = 0 c (x, t = 0) = 0

$\frac{\partial c}{\partial t} + v\frac{\partial c}{\partial x} - D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = f \quad\forall x\in(0,1) \\ c(x=0,t) = 0 \\ c(x=1,t) = 0 \\ c(x,t=0) = 0$ 求解，我们首先将平流和扩散算子移至 RHS，对时间积分，并获得以下二阶 ODE：

c + v t \frac{\partial c}{\partial x} - D t \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} = t f

$c + vt\frac{\partial c}{\partial x} - Dt\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = tf$ 同时假设

v, D, a n d f

$v,\;D,\;and\;f$ 是常数（即它们不会在空间或时间上发生变化）？因为当我尝试这个并将解决方案与我的 SUPG 和 Operator Splitting 公式进行比较时（假设相同

h

$h$ -size 与后向欧拉），似乎这些数值离散化接近稳态比解析解快得多。

例如，如果 $h$ -大小 = 1/100， $\Delta t$ = 0.01, $v$ = 1, $D$ = 1/150，和 $f$ = 1，SUPG/OS 接近稳态解 $t$ = 1.0，但要使解析解接近，则值为 $t$ 需要在 10 左右才能与稳态解具有大致相同的接近度。

如果我想进行数值收敛研究，比较 SUPG/OS 和解析解，我想知道这是否是一种可接受的方法。我宁愿在确切的时间水平上比较解决方案，而不是查看它们在之后有多接近稳态解决方案 $T$ 多少时间。