计算科学 - Jacobi 方法收敛然后发散 - 吾爱随笔录

我正在使用 Jacobi 方法在 2D 轴对称圆柱坐标系中求解泊松方程。这 $L^2$ 范数从 $\sim 10^3$ 在第一次迭代（我有一个非常糟糕的猜测）到 $\sim 0.2$ 非常缓慢地。然后， $L^2$ norm 在多次迭代后开始增加。

我的最终矩阵是弱对角占优，除了二阶诺依曼条件 $r = 0$ .

我可以花一点时间来完成这项工作，是数字还是我需要一个新算法？

我的几何形状是平行板，尖点在 $r = 0$ 在两个板上。

我的边界条件是

{\frac{\partial V}{\partial r} |}_{r = 0} = 0

$\left. \frac{\partial V}{\partial r} \right|_{r=0} = 0$

虽然我希望我的第二个径向 BC 是

{\frac{\partial V}{\partial r} |}_{r = \infty} = 0

$\left. \frac{\partial V}{\partial r} \right|_{r=\infty} = 0$ 我安于

{\frac{\partial V}{\partial r} |}_{r = a} = 0

$\left. \frac{\partial V}{\partial r} \right|_{r=a} = 0$

然后在上下边界的狄利克雷条件

V (r, L (r)) = V_{0}

$V(r, L(r) ) = V_0$

V (r, U (r)) = V_{L}

$V(r, U(r) ) = V_L$

在哪里

L (r) = {\begin{cases} 0 if r \geq R_{L} \\ H_{L} (1 - \frac{r}{R_{L}}) if r \leq R_{L} \end{cases}

$L(r) = \begin{cases} & 0 \text{ if } r \geq R_L \\ & H_L (1 - \frac{r}{R_L} ) \text{ if } r \leq R_L \end{cases}$

和

U (r) = {\begin{cases} H if r \geq R_{U} \\ H + H_{U} (\frac{r}{R_{U}} - 1) if r \leq R_{U} \end{cases}

$U(r) = \begin{cases} & H \text{ if } r \geq R_U \\ & H + H_U (\frac{r}{R_U} - 1 ) \text{ if } r \leq R_U \end{cases}$