让我们有单纯的网格和连续函数$u$它是分段线性的，并且在每个单元上都是非恒定的。然后法向量到水平集$u$给出

$$\mathbf{n}=\frac{\nabla u}{|\nabla u|}$$ 是分段常数函数。那么曲率的可能定义是什么$\kappa$这将是为了$u\in{\cal C}^2$ $$\kappa = \mathrm{div}\,\mathbf{n}.$$ 这个定义不合适，因为它产生$\kappa$每个单元格为零，是狄拉克的倍数$\delta$在各个方面。

总结：什么是合适的有限元空间$\kappa$和弱公式化$\kappa = \mathrm{div}\,\mathbf{n}$给定分段常数$\mathbf{n}$?

编辑：我有另一个想法：第一个项目$\mathbf{n}$一些$H(\mathrm{div})$- 符合空间；那么计算没问题$\mathrm{div}\,\mathbf{n}$直接地。我做了一些数值实验$u$正在投影

$$u^\mathrm{exact} = (1+x)(1+y)$$ 到域上的 CG1（连续、分段线性）$\Omega=(0,1)\times(0,1)$. 精确曲率$u^\mathrm{exact}$是 $$\kappa^\mathrm{exact} = \frac{-2(1+x)(1+y)}{[(1+x)^2+(1+y)^2]^{3/2}} .$$ 以 Raviart-Thomas 1 度空间（分段线性，在刻面中点连续）或 CG1 空间作为空间$\mathbf{n}$方法似乎收敛于规范，但令人讨厌的摆动$\partial\Omega$. 这里计算$\kappa$

和错误$\kappa-\kappa^\mathrm{exact}$

你能看出问题吗？