计算科学 - 具有周期性边界条件的特征值问题：我的特征值是否正确？ - 吾爱随笔录

我正在使用（中心）有限差分方案来解决特征值问题

- \frac{d^{2}}{d x^{2}} u = λ u

$-\frac{d^2}{dx^2}u = \lambda u$

在单位间隔上具有周期性边界条件。

我使用 arpack 的 zndrv1 和标准离散化

- \frac{d^{2}}{d x^{2}} = (\begin{matrix} 2 t_{0} & - t_{0} & 0 & \dots & - t_{0} \\ - t_{0} & 2 t_{0} & - t_{0} & \dots & 0 \\ ⋮ & - t_{0} & 2 t_{0} & - t_{0} & ⋮ \\ 0 & \dots & - t_{0} & 2 t_{0} & - t_{0} \\ - t_{0} & \dots & 0 & - t_{0} & 2 t_{0} \end{matrix})

$-\frac{d^2}{dx^2} = \left(\begin{matrix}2t_0 & -t_0 & 0 & \cdots & -t_0 \\ -t_0 & 2t_0 & -t_0 & \cdots & 0 \\ \vdots &-t_0 & 2t_0 & -t_0 & \vdots \\ 0 & \cdots &-t_0 & 2t_0 & -t_0 \\ -t_0 & \cdots & 0 & -t_0 & 2t_0 \\ \end{matrix}\right)$

我希望获得具有以下形式的特征值

u (x) = A e^{i n π x} | u (x) |^{2} = A

$u(x) = Ae^{in\pi x}\\ |u(x)|^2 = A$

相反，当我绘制 $|u(x)|^2$ 我得到周期性振荡而不是 $A$ . 例如，下图是第三个特征函数的平方。

我的问题：我应该期望形式的特征函数 $e^{in\pi x}$ 还是允许更一般的特征函数？