计算科学 - 正确设置周期性线弹性问题的边界条件 - 吾爱随笔录

正确设置周期性线弹性问题的边界条件

计算科学有限元 pde 边界条件椭圆pde 体贴入微

2021-12-25 06:57:40

从一本古老的、明智的工程书籍彼得森的应力集中因子（http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470048247.html 第 324 页）我遇到了以下问题：

有一个带有拉力的半径为 r 的圆孔的二维无限周期结构。身体的最大应力与所施加的应力的关系应该遵循良好的 1/x 曲线，见图。当我试图通过数值模拟重现这个例子时，我发现最大应力几乎与孔尺寸无关。

我对弹性使用基于位移的弱公式，周期性边界条件从上到下和从左到右重新映射，角 (0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1) 除外。为了解决问题，我已将一点 (0,0) 中的位移矢量固定为等于 (0,0)。我对吗？固定一点就够了吗？我仍然可以旋转单位正方形。我需要修正一个额外的点吗？

张力通过诺依曼边界条件施加，张力以下列方式施加。首先，我定义向量 $g = (1.0, 0)$ 然后我为方程的弱形式创建右手边：

\int C ε (u) : ε (v) d x = \int_{l e f t b o r d e r} (- g, v) d s + \int_{r i g h t b o r d e r} (g, v) d s,

$\int C\varepsilon(u):\varepsilon(v)dx = \int_{left border} (-g,v)ds + \int_{right border} (g,v)ds,$ 其中微分算子

ε

$\varepsilon$ 是梯度的对称部分，并且

v

$v$ 是服从周期性边界条件的测试函数。这是我最怀疑正确施加张力的地方。这是正确的吗？我的问题是否恰当？

ps 我正在用 Fenics 解决它，代码可以在这里找到https://fenicsproject.org/qa/13464/verifying-elasticity-benchmark-structure-boundary-conditions

2个回答

这是一个小型 FE 模型的描述，该模型可能近似于无限板中无限数量的孔的情况。

创建单个重复元素的模型 $1/4$ 一个以中心为中心的孔 $x=0, y=0$ . 沿着边界在 $x=0$ 和 $y=0$ 应用经典的对称边界条件。

在剩余的两条边上，对位移施加约束，以保持边平直并与 x 轴或 y 轴平行（视情况而定）。换句话说，沿边界的所有节点 $x=l/2$ 会有相同的 $u$ 位移和沿边界的所有节点 $y=l/2$ 会有相同的 $v$ 移位。这种类型的边界条件通常被称为 MPC（多点约束）（例如 NASTRAN、ABAQUS）。

这些边缘中的一个或两个也将具有垂直于边缘的施加应力载荷 $\sigma_1$ 要么 $\sigma_2$ .

这个想法是直边约束将强制与相邻单元格的兼容性，但不会不必要地限制运动。

作为第一种方法，您可以按照@BillGreene 的建议进行操作，即增加模型的大小，每次增加单元格的数量。我猜想每个方向上大约 10 个单元格，您应该有一个不会因为进一步增加而发生太大变化的值。

另一种选择是约束单元格相对侧的位移，例如，在水平方向上，您将有

u (left, y) = u (right, y) + g (y),

$u(\text{left}, y) = u(\text{right}, y) + g(y)\, ,$

一个共同的选择是拥有 $g(y) = u_0$ ，持续的。

如果你结合这两种方法，你会得到更好的结果，我猜。

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