计算科学 - 具有 CFL 条件的有限元 - 如何获得正确的收敛顺序 - 吾爱随笔录

我已经用空间变量中的连续有限元方法和时间变量中的隐式 Euler 或 Crank-Nicolson 离散化了 PDE。在这两种情况下，我都有错误估计 $L_2$ 形式上的规范 $\mathcal{O}(\Delta\,t^j + h^2),$ 在哪里 $j=1$ 对于后向欧拉和 $j=2$ 对于曲柄-尼科尔森。在这两种情况下，我都有一个 CFL contition of form $\Delta\,t = \mathcal{O}(h^2).$ 因此，当我运行代码时，我总是采用 $\Delta\,t = \mathcal{O}(h^2).$ 但是，对于后向欧拉中的这种选择，我有

O (Δ t + h^{2}) = O (h^{2}) = O (Δ t) .

$\begin{equation} \mathcal{O}(\Delta\,t + h^2) = \mathcal{O}(h^2)=\mathcal{O}(\Delta\,t). \end{equation}$ 现在，在 Crank-Nicolson 中，对于相同的选择

Δ t

$\Delta\,t$ 我有

O (Δ t^{2} + h^{2}) = O (h^{2}) = O (Δ t) .

$\begin{equation} \mathcal{O}(\Delta\,t^2 + h^2) = \mathcal{O}(h^2)=\mathcal{O}(\Delta\,t). \end{equation}$

我的问题：我如何才能及时得出 Crank-Nicolson 的二阶精度 $\Delta\,t = \mathcal{O}(h^2)$ ?