我想解决以下柯西问题

初始条件：$y(0) = 2$为了$t \in [0,1.6]$使用在 Matlab 中实现的 3 步 Adam-Moulton 方法，如下所示：

function [t,u] = AM3(fun,t0,T,y0,N)
  h = (T-t0)/N; % integration step
  t = t0:h:T; %time mesh
  [t(1:3),u(1:3)] = RK4(fun,t0,t0+2*h,y0,2); % first 3 steps

  for n=1:N-2
    fn = feval(fun,t(n),u(n));
    fn1 = feval(fun,t(n+1),u(n+1));
    fn2 = feval(fun,t(n+2),u(n+2));
    F = @(z) z - u(n+2) - (h/24)*(9*feval(fun,t(n+3),z) + 19*fn2 - 5*fn1 + fn);
    z0 = u(n+1);
    z1 = u(n+2);
    dF = @(z) 1 - (h/24)*9*(2*z);
    u(n+3) = newton(F,dF,z0);
  end
endfunction

N 是使用的积分节点数（即时间网格的大小）。函数返回数组中问题的离散解$u$. 由于该方法在每次迭代中都是隐式的，因此我使用牛顿方法写为

function y = newton(f,df,x)
 fx = f(x);
 tol = 1e-10;
 itermax = 1e3;
 iter = 0;
 while abs(fx) > tol && iter < itermax
    x = x - f(x)/df(x);
    fx = f(x);
    iter++;
 endwhile
 y=x;

我的问题是，这个方程似乎是非常病态的，因为即使有一个很小的积分步骤$h$我得到的是这样 的：问题持续存在更大$N$.

尽管方程非常难看，但它有精确的解：$y(t) = \frac{(t-1)(t-2)}{t+1}$这是相对简单的。

你能帮我解决这个问题吗？我仔细检查了算法，它们看起来不错；我还尝试用其他一些方法（割线、定点等）改变牛顿的方法，但没有出现任何新奇之处。

我还尝试改变与 Adam-Bashforth 或 Runge-Kutta 一起使用的方法，但无济于事。