我正在使用 Galerkin 方法（准确地说是不连续）在空间中离散化标量线性波动方程和显式二阶中心有限差分方案以在时间上离散化，从而产生一种半离散系统：

$M\ddot{U} + KU=0, \quad U(0)=U_0, \quad \dot{U}(0) = U_1,$

在哪里$M, K$是 Galerkin 方法的质量和刚度矩阵。现在研究稳定性的想法是观察如果双线性形式$a$从中$K$起源有一个$L^2$-离散空间上特征函数的正交基$V_h$：$a(w_i, v)=\lambda_i (w_i, v), \quad \forall v \in V_h, \quad i = 1 \dots N, \quad \dim{V_h} =N,$

然后在使用时间积分方案并表示后$u^k= \sum_{j=1}^N u_j^kw_j$：

$(u^{n+1}-2u^n+u^{n-1}, w_i) + \Delta t^2a(u^n,w_i)=0$

变为，使用以下事实$(w_j, w_i) = \delta_{i,j}:$

$u^{n+1}_i = (2-\lambda_i \Delta t ^2)u_i^n - u_i^{n-1}, \quad \forall i = 1 \dots N$

现在的重点基本上是求解这个二阶差分方程并要求它不会振荡或爆炸，这会导致这种 CFL 条件$\Delta t \le C h$（绑定后$\lambda_i$与网格尺寸$h$）。

因此，作为二阶差分方程，可能存在判别为正、负（两个复根）或零的情况。这是进行此类稳定性分析的正确途径吗？这些要求是拥有 CFL 条件所需要的全部吗？非常感谢您的澄清。